Gleichung lösen..

22.10.2006, 08:32	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung lösen.. Gegeben sei die Gleichung: $\begin{eqnarray} a\cdot{c}\cdot{x_1} + b\cdot{a}\cdot{x_2} + c\cdot{b}\cdot{x_3}=T \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ Konstanten und $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ die Variablen sind, die gesucht sind. Nun meine Frage: Welches Verfahren bietet sich hier zum Lösen an? Diophantisch ist das Teil nicht mehr. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke.
22.10.2006, 14:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei diophantischen Gleichungen sind die Koeffizienten ganzzahlig und es interessieren auch nur ganzzahlige Lösungen ... Die angegebene Gleichung (in a,b,c) stellt m.E. geometrisch die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung dar. mY+
22.10.2006, 14:39	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh.. was meinst du mit Fläche 2. Ordnung? Das sagt mir nix. Danke schonmal. Edit: Ja, hier ist auch alles ganzzahlig, also $\begin{eqnarray} a,b,c,x_1,x_2,x_3,T \in{N} \end{eqnarray}$
22.10.2006, 15:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachdem die Variablen a, b, c immer paarweise in einem Produkt vorkommen, ist die Gleichung quadratisch (es fehlen hier die rein quadratischen Glieder). Flächen 2. Ordnung können Kugel, Zylinder, Ellipsoid, Hyperboloid, Paraboloid, ... sein. Auch beispielsweise die Gleichung 3xy + yz - 2xz - 6 = 0 beschreibt eine solche Fläche. Da in deinem Fall alle Werte nur natürliche Zahlen sein sollen, ist diese Gleichung schon diophantisch. Als Lösung ergeben sich nur Punkte mit ganzzahligen Koordinaten. Wegen der fehlenden 2. und dritten Gleichung (2 Freiheitsgrade) kannst du für 2 Variable beliebige ganzzahlige Parameter x = u, y = v wählen und nach z lösen. $\begin{eqnarray} z = 3 \cdot \frac{2 - uv}{v-2u} \end{eqnarray}$ Nun u, v so wählen, dass auch z ganzzahlig wird. mY+

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