Prüfen: f ist injektiv bzw. surjektiv...

22.10.2006, 10:21

ritz

Prüfen: f ist injektiv bzw. surjektiv...

Habe grade mit meinem Studium angefangen und bin bei folgender Aufgabe etwas überfragt und weiß nicht wie ich herangehen soll:

Prüfen Sie nach (...ich hoffe das klappt mit Tex):

[f ist injektiv] $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \forall (A_1, A_2) \in P(X) \times P(X), f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$

[f ist surjektiv] $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \forall B\in P(Y), f(f^-1(B)) = B \end{eqnarray*}$

Was muss ich mir aus den Mengen "herausnehmen"? Ein Punkt, ein Punktepärchen oder gar eine Menge?

EDIT: Doppelpost zusammengefügt, $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$

22.10.2006, 11:29

therisen

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Du hast es nicht hingeschrieben, aber beim ersten Fall ist wohl $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Abbildung mit der Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und beim zweiten Fall ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Zielmenge. Vermutlich meinst du mit $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(X) \end{eqnarray*}$ .

Zur ersten Aufgabe: "=>". Sei also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv. Zu zeigen ist, dass für zwei beliebige Teilmengen $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \subset X \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} y \in f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \cap A_2 \end{eqnarray*}$ , d.h. es gilt sowohl $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x \in A_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ . Daher liegt $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ sowohl in $\begin{eqnarray*} f(A_1) \end{eqnarray*}$ als auch in $\begin{eqnarray*} f(A_2) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} y \in f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ . Wir erhalten also $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ . Du musst jetzt analog zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} f(A_1) \cap f(A_2) \subseteq f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ gilt. Dann bleibt noch die Rückrichtung "<=" zu beweisen.

Bei der zweiten Aufgabe gehst du genauso vor.

Gruß, therisen

22.10.2006, 20:13

ritz

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Erstmal: Vielen Dank.

Zitat:

Original von therisen
Du hast es nicht hingeschrieben, aber beim ersten Fall ist wohl $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Abbildung mit der Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und beim zweiten Fall ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Zielmenge. Vermutlich meinst du mit $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(X) \end{eqnarray*}$ .
Gruß, therisen

Ich meine natürlich die Potenzmenge und Zielmenge, auch wenn das nicht in der Aufgabenstellung erwähnt wird.

Zitat:

Zur ersten Aufgabe: "=>". Sei also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv. Zu zeigen ist, dass für zwei beliebige Teilmengen $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \subset X \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} y \in f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \cap A_2 \end{eqnarray*}$ , d.h. es gilt sowohl $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x \in A_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ . Daher liegt $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ sowohl in $\begin{eqnarray*} f(A_1) \end{eqnarray*}$ als auch in $\begin{eqnarray*} f(A_2) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} y \in f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ . Wir erhalten also $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ .

Absolut nachvollziehbar.

Zitat:

Du musst jetzt analog zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} f(A_1) \cap f(A_2) \subseteq f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ gilt. Dann bleibt noch die Rückrichtung "<=" zu beweisen.

Auch klar, aber wie mache ich das?

Zur zweiten Aufgabe mein Ansatz:

[f ist surjektiv] $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \forall B\in \mathcal{P}(Y), f(f^-1(B)) = B \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} y \in f(f^-1(B)) \end{eqnarray*}$ . Da f surjektiv ist, gilt $\begin{eqnarray*} x \in f^-1(B) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) \in B \end{eqnarray*}$ . Also gilt $\begin{eqnarray*} f(f^-1(B)) \subseteq B \end{eqnarray*}$ – oder nicht? Wahrscheinlich zu einfach gedacht. Jetzt wüsste ich wieder nicht, wie ich zeigen sollte das $\begin{eqnarray*} B \subseteq f(f^-1(B)) \end{eqnarray*}$ . Irgendwie fehlt mir da der Ansatz…

PS. danke auch noch einmal für das editieren - ich hoffe jetzt klappt es.

22.10.2006, 20:28

therisen

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Zitat:

Original von ritz

Zitat:

Du musst jetzt analog zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} f(A_1) \cap f(A_2) \subseteq f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ gilt. Dann bleibt noch die Rückrichtung "<=" zu beweisen.

Auch klar, aber wie mache ich das?

Die Inklusion oder die Rückrichtung? Die Inklusion dürfte klar sein, oder?

Zitat:

Zur zweiten Aufgabe mein Ansatz:

[f ist surjektiv] $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \forall B\in \mathcal{P}(Y), f(f^-1(B)) = B \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} y \in f(f^-1(B)) \end{eqnarray*}$ . Da f surjektiv ist, gilt $\begin{eqnarray*} x \in f^-1(B) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) \in B \end{eqnarray*}$ . Also gilt $\begin{eqnarray*} f(f^-1(B)) \subseteq B \end{eqnarray*}$ – oder nicht? Wahrscheinlich zu einfach gedacht. Jetzt wüsste ich wieder nicht, wie ich zeigen sollte das $\begin{eqnarray*} B \subseteq f(f^-1(B)) \end{eqnarray*}$ . Irgendwie fehlt mir da der Ansatz…

Das, was du versuchst zu zeigen, würde ich als trivial abstufen: Natürlich gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) \subseteq A \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(B) \subseteq f(A) = B \end{eqnarray*}$ (da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv). Zeige mir also lieber mal deinen Beweis für $\begin{eqnarray*} B \subseteq f(f^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ich sehe gerade, dass du Probleme bei der Rückrichtung hast: Zeige, dass sich jedes $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} (b) \end{eqnarray*}$ schreiben lässt.

Gruß, therisen

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