Integration durch Substitution

10.03.2010, 22:53	Lurch	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution Meine Frage: Hey Matheboardler ich hab hier ein Problem mit einer unbestimmten Integralaufgabe. Sie sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} int_a^b \! \sqrt{x^{2}-2x } \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Also ich hab den Term in der Wurzel auf (x-1)^2 Dann wollte ich durch Substitution von $\begin{eqnarray} - 1= \cos(u) \Rightarrow dx/du=-\sin(u) \Rightarrow dx= -\sin(u)du \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich das Integral vor mir $\begin{eqnarray} int_a^b \! \sqrt{cos^{2}u- 1 }\left(-\sin(x) \right) \, du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} int_a^b \! \sqrt{sin^{2}u }\left(-sinx\right) \, du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} int_a^b \! \sin(u)\left(-\sin(x) \right) \, du \end{eqnarray*}$ Aber ich weiss jetzt überhaupt nicht weiter wie ich jetzt weitermachen soll
10.03.2010, 23:05	Lurch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab vergessen noch etwas zu sagen und zwar das mit dem sin u und sin x gehört zum meinem Problem. Ich freue mich über konstruktive Antworten. Danke Jungs ....
11.03.2010, 03:26	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution Interessantes Ding. Was Wolfram ausspuckt (klick), ist auch nicht gerade hübsch. $\begin{eqnarray} \int \sqrt{x^2-2x} \, \, \dx = \int \sqrt{(x-1)^2-1} \, \, \dx \end{eqnarray}$ Kleine Idee dazu: Mit der Substitution $\begin{eqnarray} x = \cosh(u)+1 \end{eqnarray}$ landet man dann bei $\begin{eqnarray} \int \sqrt{\cosh^2(u)-1} \, \cdot \sinh(u) \, \, \dd u \end{eqnarray}$ Das kann man nun natürlich noch vereinfachen. Das entstehende Integral ist recht einfach und könnte zum Beispiel schnell partiell integriert werden. Allerdings wird das dann, wenn die Rücksubstitution anliegt, auch nicht gerade hübsch. Aber so wirklich schön scheint die Stammfunktion auch nicht zu werden. Bin ja gespannt, ob da jemand noch eine tolle Idee zu hat.
11.03.2010, 10:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit (x - 1) = z, dx = dz, wird es zu einem Integral der Form $\begin{eqnarray} \int~\sqrt{z^2 - 1}~dz \end{eqnarray}$ Derive (z wurde dort mal wieder x gesetzt) meint dazu [attach]13841[/attach] Das genauer zu hinterfragen fehlt mir im Moment die Zeit. Vielleicht kommst du ja selbst darauf. mY+
11.03.2010, 15:16	Lurch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution Danke Mythos und Mulder ...... ich hab jetzt den ganzen Morgen damit verbracht die Aufgabe mithilfe euren Ratschlägen zu lösen. Aber ich muss schon sagen die Aufgabe bringt mich an meine Grenzen .... Auf jeden Fall hab ich versucht die Rechenwege von Mythos nachzuvollziehen und naja .... ich komm da wirklich auf keinen grünen Zweig. Also da mich das Integral $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \sqrt{z^{2} - 1} \, dz \end{eqnarray}$ an etwas erinnert hat hab ich es als drittes Binom angesehen und im Integral die Wurzel gesplittet $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \sqrt{\left(z- 1\right) }\sqrt{\left(z+1\right) } \, dz \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich nochmals partiell integriert wobei mein $\begin{eqnarray} \left(z-1\right) ^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ mein u ist und $\begin{eqnarray} \left(z+1\right) ^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ mein $\begin{eqnarray} v^{,} \end{eqnarray}$ vom ln und ein paar Kleinigkeiten würde die Partielle Integration stimmen aber ich muss auch zugeben .... mit viel Fantasie ;-) Okay ich hab jetzt ..... $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \left(z- 1\right)^{\frac{1}{2}}\left(z+1\right)^{\frac{1}{2} } \, dz= \left(z-1 \right)^{\frac{1}{2} }\left(z+1\right)^{\frac{3}{2} }\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \int_a^b \! \left(z-1\right)^{\frac{-1}{2} }\left(z+1\right)^{\frac{3}{2} } \, dz \end{eqnarray*}$ Ab hier komme ich nicht mehr weiter und ich so das Gefühl das nicht mehr viel gemacht werden muss..... Ich bin gespannt eure Tipps und Ideen zu hören. Danke euch schon im Voraus.

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