Fragen zu Körpererweiterungen, Galois-Theorie und verschiedenes

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frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zu Körpererweiterungen, Galois-Theorie und verschiedenes
Hallo,
ich bereite mich gerade auf eine Algebra Klausur vor und habe deswegen eine ganze Liste an Fragen. Ich möchte nicht das Forum mit zig Beiträgen überfluten deswegen ist das hier eine Art Sammelthreat in dem ich alle meine Fragen zu diesem Thema stelle.
Ich hoffe das ist ok und ihr könnt mir helfen. Es muss ja auch nicht einer alle Fragen beantworten...

1. zum Lemma von Artin. Das besagt laut Skript:
Ist der Fixkörper einer endlichen Untergruppe H der Automorphismengruppe Aut(F) eines Körpers F, so ist galois, und

In der Musterlösung zu einer Übungsaufgabe wird dann mit Hilfe des Lemmas von Artin aus normal und seperabel, also galois, gefolgert, dass |Gal(A/B)| = [A:B]
Kann man das denn so folgern? Eigentlich steckt diese Ausage doch nicht im Lemma drin?! Gilt sie trotzdem immer? Oder hab ich sie irgendwie übersehen?

2. zu den Sylow-Sätzen. Ich habe mir ein Beispiel überlegt und frage mich nun ob ich dabei alles richtig gemacht habe.
Sei |G|=12=3*4
Also existieren p-Sylow-Untergruppen mit Ordnungen 2, 3 und 4, richtig?
Es existieren 2-Sylow-Untergruppen und 3-Sylow-Untergruppen. Gibt es auch noch andere? 4-Sylow-UG gibt es nicht weil 4 nicht prim, richtig? Gibt es z.b. 5-Sylow-UG?
Sei k die Anzahl der 3-Sylow-UG. Mit den Sylow-Sätzen können wir nun folgern, dass
i) also {1,4,7,10,...}
ii) k|12 also {1,2,3,4,6,12}
Zusammengenommen: {1,4}
Woher weiß ich nun ob k=1 oder k=4 ist? Oder kann ich das anhand Sylow-Sätzen gar nicht entscheiden und muss mir andere Kriterien anschauen? Oder ist es einfach immer das größt mögliche?

3. Separabilität einer Körpererweiterung. Wieder ein Beispiel.
Betrachte die Körpererweiterung . Das Minimalpolynom von ist doch dann . Es hat die Nullstellen .
Ist dann der Separabilitätsgrad weil von den NST nur ? Oder ist er 3 und die Körpererweiterung damit seperabel?

4. normale Körpererweiterung.
Eine Körpererweiterung E/K ist normal wenn jedes irreduzible Polynom in K[T], das in E eine NST besitzt, in E[T] in Linearfaktoren zerfällt.
Wie überprüft man das? Also ein Gegenbeispiel lässt sich bei einer nicht-normalen Körpererweiterung vll noch leicht finden. Aber wenn ich zeigen will, dass eine KE normal ist, wie geht das? Man kann ja schlecht alle irred. Polynome überprüfen...

5. Galois-Gruppen
Geben Sie - falls möglich - ein irreduzibles Polynom an, dessen Zerfällungskörper eine Galoisgruppe der Ordnung 6 besitzt.
Wie macht man so etwas? Ein Beispiel hab ich. (Musterlösung: "Das 7-te Kreisteilungspolynom hat Ordnung und Galoisgruppe der Ordnung 6.") Aber wie geht man an so eine Aufgabe ran?



So, das fürs Erste... Ich hab noch ein paar mehr Fragen aber kann sie jetzt nicht abtippen. Aber die ich getippt habe reichen ja auch erstmal.
Ich bin für jede Antwort dankbar!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bitte in Zukunft pro Frage ein Thema.

1. Wähle H = Gal(A/B)

2. Es gibt keine p-Sylow-UG der Ordnung 2. Nur die für maxime p-Potenzordnung nennt man Sylowuntergruppen. Natürlich gibt es auch 5-Sylowgruppen, die haben eben Ordnung 5^0
Die Anzahl der Sylow-UG lässt sich natürlich mit der Ordnung alleine nicht bestimmen, sonst hätte ja jede Gruppe eine bestimmte Anzahl von UG einer Ordnung. Das das nicht stimmt kann man sich leicht überlegen

3. Erweiterungen über Körpern der Charakteristik 0 sind immer separabel. Das ist für gewöhnlich das erste oder zweite Lemma nachdem man separabel einführt.
Aber auch sonst ist klar dass das Polynom separabel ist, es zerfällt doch in paarweise versch. NST!

4. Da gibt es aber bessere Charakterisierungen für Zerfällungskörper. So reicht es aus dass die Bedingung nur für die Erzeuger gilt.

5. Naja man wendet Intuition und Sätze an die man hatte. In dem Fall gibt es ja nicht so viele Gruppen der Ordnung 6(C6 und S3). Für C6 sieht man gleich dass man einen Kreisteilungskörper nehmen kann. Für die S3 könnte man beispielsweise die normale Hülle von nehmen wenn du das Beispiel oben schon angeführt hast Augenzwinkern
edit: Aufgabe falsch gelesen. Wir suchen ja nicht den Körper. Dann nehmen wir für S3 eben dein Polynom T^3-2
 
 
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich? Nagut, von mir aus...

2. Ich will doch gar nicht die Anzahl anhand der Ordnung bestimmen, ich will sie mit den Sylow-Sätzen bestimmen, und die sagen ja schon etwas über die Anzahl aus. Ich weiß ja schon, dass es entweder eine oder vier 3-Sylow-UG gibt.
Andere Zahlen kommen da nicht in Frage weil die Anzahl die Gruppenordnung teilen muss und in der Restklasse von 1 (mod p) liegt.

3. Tut mir leid, so ein Lemma hatten wir gar nicht, hab gerade nochmal nachgeschaut.
Ich war mir halt nicht sicher ob man die NST mitzählt wenn sie nichtmal im Oberkörper liegen.

4. Was hat ein Zerfällungskörper damit zu tun? Dazu braucht man doch erstmal ein Polynom. Ob ich nun alle Polynome oder alle Zerfäälungskörper betrachte, das hilft mir doch nicht...
Tut mir leid, ich verstehe nicht was du damit meinst.
Ich hab langsam den Eindruck, dass mein Skript komplizierter geschrieben ist als es sein müsste.

Danke für die Hilfe! :-)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Diskussion wird sonst unübersichtlich wenn man gleichzeitig über mehrere Dinge diskutieren muss. In deiner Form mit Nummerierungen ist es aber gerade noch aktzeptabel smile

2. Ja die Sylowsätze benutzen doch nur die Gruppenordnung, also willst du die Anzahl nur mit Hilfe des Gruppenordnung bestimmen. Und das funktioniert nicht, da brauchst du schon mehr Informationen über die Gruppe.

3. Ja man zählt die Vielfachheiten der NST in einem algebraischen Abschluss.

4. Eine Körpererweiterung ist doch genau dann normal wenn sie Zerfällungskörper der Minimalpolynome der Erzeuger ist. Entweder ihr hattet sehr wenige Sätze oder du musst dein Skript nochmal genau lesen smile
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2:
Zitat:
Ich will doch gar nicht die Anzahl anhand der Ordnung bestimmen,...
Das ist aber ungünstig, da Du ja außer der Ordnung der Gruppe nichts weiter gegeben hast. Big Laugh
Schau Die aber mal die und an. Beides Gruppen der Ordnung zwölf, aber eine davon hat nur eine Sylow-3-Untergruppe und die andere hat vier. Es kann also beides auftauchen. Allein aus der Ordnung kann man nichts mehr folgern.

Gruß,
Reksilat.

Edit: Zu spät. Sorry, kiste. Dachte Du wärst gerade offline gewesen.
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »

2. Hab das mit der Ordnung irgendwie falsch verstanden... Hammer

4. Hm wir hatten so einen ähnlichen Satz, der besagt dass für einen Zwischenkörper gilt:
E ist normal über K genau dann wenn E ist der Zerfällungkörper in Omega einer Familie nicht-konstanter Polynome aus K[T]

Hab mir auch schon gedacht, dass die Minimalpolynome irgendwas damit zu tun haben, aber konnte die Puzzelteile nicht zusammenfügen.
Es mag schon stimmen, dass wir relativ wenig Sätze hatten. Der Prof hat auch mal gesagt, dass es ihm wichtiger ist, dass wir Beispiele kennen. Ich glaube aber dass der ein oder andere Satz beim finden der Beispiele helfen könnte. Ich will ja auch nicht 100 Beispiele auswendig lernen nur damit ich dann in der Klausur die 5 gefragten parat hab.

5. Das muss ich mir nochmal genauer anschauen. Später mehr dazu.

smile
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »

so jetzt nochmal zu 5.

Also für T^3-2 ist das alles verständlich, aber mit dem Kreisteilungpolynom komm ich nicht zurecht.
Vielleicht steh ich ja ganz blöd auf dem Schlauch, aber ich bin der Meinung, dass das 7-te Kreisteilungspolynom eine Galois-Gruppe der Ordnung 7 hat.

Das 7-te Kreisteilungspolynom hat genau 6 verschiedene Nullstellen, die alle nicht rational (und auch nicht reel) sind.
Der Grad der Körpererweiterung ist dann 7 weil die 6 Nst zusammen mit der 1 eine Basis des Vektorraums bilden.
Die Körpererweiterung ist normal und seperabel, also hat auch die Galoisgruppe die Ordnung 7.

Wo ist der Haken bei dieser Überlegung? verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll beim Faktorisieren durch ein Polynom vom Grad 6 eine Erweiterung vom Grad 7 entstehen?

Oder anders gesagt: T^3-2 hat auch 3 solche NST, trotzdem ergibt sich nicht Grad 4
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da hast du schon recht. Aber das ist was anderes.

Bei T^3-2 stehen ja nicht nur die Nst in der Basis sonderen eben auch noch die Produkte aus den versch. Nst. Also nicht alle Produkte, aber die die nicht in Q liegen...
Der Grad der KE wird dadurch größer. Aber in dem anderen Beispiel müsste der Grad ja kleiner werden, das geht ja nicht.

Aber betrachten wir jetzt wieder das 7.Kreisteilungspolynom.
Sei .
Dann sind die Nst des 7.Kreisteilungspolynom t, t^2, t^3, t^4, t^5, t^6
Außerdem ist t^7 = 1
Und die Basis ist dann eben gerade {1, t, t^2, t^3, t^4, t^5, t^6}.

Warum sollte es denn keine Erweiterung vom Grad 7 sein?
Ich fürchte ich brauche ein klein wenig ausführlichere Erklärungen.
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut, meine Überlegung ist falsch. Ich habe weiter nachgedacht und herausgefunden das es nicht stimmen kann.
Ich habe mir dazu ein analoges Beispiel mit dem 5.Kreisteilungpolynom angeschaut, wenn es so wäre wie ich dachte, hätte das ja eine Galois-Gruppe der Ordnung 5.
Das Polynom hat Grad 4 und ist irreduzibel über Q[X], deswegen muss die Galoisgruppe eine Untergruppe der S4 sein. Die S4 hat aber natürlich keine Untergruppe der Ordnung 5.
Und genauso hat die S6 auch keine Untergruppe der Ordnung 7.

Ich glaube, es hängt mit den Eigenschaften der Einheitswurzeln zusammen.
Betrachten wir nochmal das t aus meinem letzten Beitrag. Es gilt:
Re(t) = Re(t^6) , Im(t) = Im(t^6) ; Re(t^2) = Re(t^5), Im(t^2) = Im(t^5) ; Re(t^3) = Re(t^4), Im(t^3) = Im(t^4)

Aber trotzdem verstehe ich nicht wie man auf eine Galois-Gruppe der Ordnung 6 kommt. Dazu müsste der Zerfällungskörper doch eine Körpererweiterung vom Grad 6 sein.
Ich hab mir echt schon viele Gedanken darüber gemacht aber ich komme einfach nicht drauf.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, {1, t, t^2, t^3, t^4, t^5, t^6} ist eben keine Basis. Das Minimalpolynom von t ist doch eine nicht-triviale Linearkombination der 0 dieser Elemente
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, diese Antwort verstehe ich nicht.
Naja, ist ja auch egal jetzt... Wenn in der Klausur nach so nem Polynom gefragt wird schreib ich eben einfach hin dass es das Kreisteilungspolynom ist.
Ich hoffe das wird reichen.
Danke für deine Hilfe kiste. Blumen
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist , also linear abhängig
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »

Also das heißt dann, in der Basis muss man eins weglassen, z.b. t^6
Dann hat die Körpererweiterung Grad 6 und damit auch Galois-Gruppe der Ordnung 6. Freude
Hm bestimmt gut das mal gehört zu haben.
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