Optimierung eines Verhältnisses

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Polonium4U Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierung eines Verhältnisses
Hallo,

Ich studiere Raumfahrttechnik und bin gerade dabei meine Diplomarbeit zu schreiben. Dabei geht es um die Programmierung eines Modems für die Datenübertragung zwischen Satelliten. Ich möchte eine automatische Frequenzanpassung durchführen und bin dabei auf folgendes Problem gestoßen.

Die Empfangsfrequenz des Modems wird im wesentlichen durch ein Verhältnis zweier ganzzahliger Werte bestimmt, das danach mit einer Referenzfrequenz multipliziert wird. Will ich also eine bestimmte Frequenz einstellen, kann ich das "Wunschverhältnis" ausrechnen, und muss versuchen es mit meinen ganzzahligen werten so genau wie möglich zu treffen. Es sei also das gewünschte verhältnis und und meine ganzzahligen werte für die folgende Nebenbedingungen gelten:




Die Zielfunktion lautet entsprechend:


Diese Zielfunktion gilt es jetzt mit so wenig Rechenschritten wie möglich zu minimieren. Ich habe überschlagen dass das reine ausprobieren aller Kombinationen ca. 8,5 Milliarden schritte benötigt. Das ist für die Hardware die in so einem Satelliten eingebaut ist schlicht unmöglich. Da ich kein Mathematiker bin kann ich leider auch kaum was mit den Beiträgen anfangen die ich im Internet zu ähnlichen Problemen gefunden habe.

Ich würde mich sehr über einen Lösungsansatz, aber auch über Links und Literaturempfehlungen freuen. Danke.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Also soll N/M maximiert werden. Du musst also den größtmöglichen Wert für N und den kleinstmöglichen für M wählen.

Ist das Problem wirklich so einfach? Kaum zu glauben, denn so ist es ja trivial. Hab ich was überlesen oder du was vergessen?
Polonium4U Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, tatsächlich, ich hab es etwas falsch formuliert. Ich will dass eine Null rauskommt. also dass im optimalen Fall . "Minimieren" war daher das falsche Wort. Sorry.
Polonium4U Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man so will, kann man die Funktion auch umschreiben:



Und das muss jetzt minimiert werden. Ich wünschte es wär so trivial, wie du sagst.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche es doch mal mit Kettenbruchentwicklung (klick).
Das geht mit sehr wenigen Schritten, ist einigermaßen genau und man kann die Genauigkeit auch noch recht gut abschätzen.
Für den erhaltenen Bruch kann man dann immerhin garantieren, dass es keine bessere Näherung mit kleinerem gibt.

Alternativ kannst Du auch sämtliche erlaubten Nenner durchtesten, wobei Du natürlich nicht jeweils auch noch alle Zähler prüfen musst - das kann man schon weitaus effizienter gestalten. Man kann auch beides kombinieren... erst Kettenbruch und danach noch die höheren Nenner weitertesten.

Ein bisschen herumspielen kannst Du diesbezüglich auch dort (->Approximation von Dezimalbrüchen durch echte Brüche)

Gruß,
Reksilat.
Polonium4U Auf diesen Beitrag antworten »

Ok cool, das probiere ich mal aus. Danke für die Tipps.
 
 
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