Schwaches Gesetz der großen Zahlen

11.03.2010, 16:52

Nori

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Hallo,

ich habe eine Frage zu den Voraussetzungen des schwachen Gesetzes der großen Zahlen:

Wir haben zunächst aufgeschrieben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_1,\dots,f_n \end{eqnarray*}$ seien identisch verteilte, quadratintegrierbare und unkorrellierte Zufallsvariablen. Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} P \left( \left\{ \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f_i - \mu \right| \geq \varepsilon \right\} \right) \leq \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2} \to_{n \to \infty} 0 \end{eqnarray*}$

Im Beweis wurde benutzt, dass die Varianz einer Summe gleich der Summe der Varianzen ist - daher wird die Unkorrelliertheit benötigt - klar.

Danach haben wir als "2. Version" aufgeschrieben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_n, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sei eine Folge unabhängiger, identisch verteilter und quadratintegrierbarer Zufallsvariablen. Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f_i \to^P E(f_1) \end{eqnarray*}$

Also konvergiert das arithmetische Mittel der $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ in Wahrscheinlichkeit gegen den Erwartungswert.

Warum haben wir in der zweiten Version nun Unabhängigkeit gefordert? Wir haben zur zweiten Version auch keinen Beweis mehr angeführt - ich hatte das bisher ehrlich gesagt einfach als Umformulierung betrachtet - aber irgenetwas muss wohl dahinter stecken wenn man die Voraussetzungen abändern muss.

13.03.2010, 20:58

Lord Pünktchen

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RE: Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Vermutlich sollte man unabhängig durch unkorreliert ersetzen.

Die unabhängigkeit braucht man da nicht.

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