Identifikation einer Menge von Äquivalenzklassen

22.10.2006, 12:26

para

Identifikation einer Menge von Äquivalenzklassen

Hallo,

gegeben ist die Relation

$\begin{eqnarray*} (a,b) \sim (c,d) \Leftrightarrow a+d=b+c \quad \text{ in } \quad \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Menge der Äquivalenzklassen würde ich so angeben (da (0,n) und (n,0) ja jeweils Repräsentant einer Äquivalenzklasse ist - dann kommt zwar(0,0) zweimal vor aber das soll vllt nicht unbedingt stören ^^):

$\begin{eqnarray*} A=\left\{[(0,n)] , [(n,0)] \mid n \in \mathbb{N}_0 \right\} \end{eqnarray*}$

Müsste soweit korrekt sein, oder? (Bin mir bei der Schreibweise noch nicht ganz sicher.)

Die Frage die sich danach stellt ist, ob diese Menge mit einer (uns) gut bekannten Menge identifiziert werden kann. Leider fällt mir dazu noch nichts wirklich ein. Wäre n aus der Menge der reellen Zahlen könnte man ja von so etwas ausgehen wie "die Menge aller komplexen Zahlen ohne Realteil", aber das wäre ja auch wieder so eine Sache, da man ja auch nicht zwingend (0, ..) als Repräsentanten wählen muss.
Mir fehlt also noch eine wirkliche Idee dazu. ^^

Könnte mich mal jemand ein Stück in die richtige Richtung schubsen?

Danke,
para

//edit: kleiner Fehler im Nachhinein geändert. ;-)

22.10.2006, 12:45

therisen

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Hallo,

dies ist eine Möglichkeit, die ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ einzuführen: Definiere nämlich $\begin{eqnarray*} -n := [(0,n)] \end{eqnarray*}$ (um deine Notation zu verwenden).
Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} -2 = (0, 2) \sim (2, 4) \sim (8, 10) \sim \ldots \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

22.10.2006, 20:06

para

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Zitat:

Original von therisen
dies ist eine Möglichkeit, die ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ einzuführen

Wow, wie genial einfach und doch praktisch. - Danke. smile

Zitat:

Original von therisen
(um deine Notation zu verwenden)

Wie gesagt, bei der Notation bin ich mir etwas unsicher. - Sind andere Notationen gebräuchlicher/eindeutiger/'richtiger' als diese?

Gruß, para

22.10.2006, 20:11

therisen

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Zitat:

Original von para
Wie gesagt, bei der Notation bin ich mir etwas unsicher. - Sind andere Notationen gebräuchlicher/eindeutiger/'richtiger' als diese?

Ne, das passt schon so. Beispielsweise schreibt unser Dozent in Analysis $\begin{eqnarray*} \operatorname{\text{ÄK}}(0,n) \end{eqnarray*}$ . Mir persönlich gefällt die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \operatorname{K}(0,n) \end{eqnarray*}$ gut.

Gruß, therisen

PS: Ja, ist in der Tat genial. Die Idee hinter dem ganzen ist die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} a+x=b \end{eqnarray*}$ (setze mal $\begin{eqnarray*} a=42, b=40 \end{eqnarray*}$ ). Die Lösung will man dann als $\begin{eqnarray*} (40, 42) \end{eqnarray*}$ auffassen usw.

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