Vereinfachen von Wurzel aus Wurzel

11.03.2010, 17:20

ElBanditos

Vereinfachen von Wurzel aus Wurzel

Hallo,

ich möchte folgendes vereinfachen, kann mir jemand eine Hilfestellung geben. Das ganze soll anschließend abgeleitet werden.

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x\sqrt{3x\sqrt{2x}}} \end{eqnarray*}$

Danke für die Hilfe!

11.03.2010, 17:23

Iorek

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Versuch es mal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt x = \sqrt{ \sqrt{x^2}} \end{eqnarray*}$ und Wurzelgesetzen smile

11.03.2010, 17:51

ElBanditos

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erstmal Danke,

sry gehts vielleicht etwas genauer, auch wenns Elementare Aufgabe ist, fällt sie mir grad schwer. unglücklich

11.03.2010, 17:58

Iorek

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RE: Vereinfachen von Wurzel aus Wurzel
Kommst du damit weiter? smile

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x\sqrt{3x\sqrt{2x}}}=\sqrt{\sqrt{x^2}\sqrt{3x\sqrt{2x}}} \end{eqnarray*}$

11.03.2010, 18:16

ElBanditos

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ich bin mir nicht sicher

wäre das dann fortgesetzt

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{\sqrt{x^2}\sqrt{\sqrt{(3x)^2}\sqrt{\sqrt{(2x)^2}}}} = \sqrt{x^2*(3x)^2*(2x)^2} \end{eqnarray*}$

???

11.03.2010, 18:37

Iorek

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Ich überlege gerade, ob mein erste Vorschlag wirklich so sinnvoll war...zumindest komm ich darüber nicht auf das richtige Ergebnis...

Ich habe es jetzt auf zwei verschieden Arten durchgerechnet, bei der einen habe ich anscheinend irgendwo einen Fehler drin, finde ihn aber nicht.

Mein zweiter Ansatz wäre die Wurzeln in Potenzen umzuwandeln, also $\begin{eqnarray*} \sqrt x=x^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ und dann mit Potenzgesetzen zu arbeiten, damit kommt man auf jedenfall ans Ziel (auch wenn ich gleich nochmal nach meinem Fehler im anderen Rechenweg suchen werde).

11.03.2010, 18:54

ElBanditos

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geht man nach

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x\sqrt {3x\sqrt{2x}}} = \sqrt{x}* \sqrt[4]{3x} * \sqrt[8]{2x} \end{eqnarray*}$

aber wie das dann ableiten soll, frage ich mich immer noch, bzw. wie läßt sich das noch weiter vereinfachen?

11.03.2010, 19:04

Iorek

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RE: Vereinfachen von Wurzel aus Wurzel
So einfach kannst du die Klammern nicht setzen, die Wurzeln beinhalten ja selbst noch Wurzeln:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x\sqrt{3x\sqrt{2x}}}=(x\cdot (3x\cdot (2x)^{\frac 12})^{\frac 12})^{\frac 12} \end{eqnarray*}$

Jetzt lösen wir die Klammern von innen nach außen auf:

$\begin{eqnarray*} (x\cdot (3x\cdot (2x)^{\frac 12})^{\frac 12})^{\frac 12}=(x\cdot(3x\cdot 2^{\frac 12}\cdot x^{\frac 12})^{\frac 12})^{\frac 12}=<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> (x\cdot 3^{\frac 12}\cdot x^{\frac 12}\cdot 2^{\frac 14}\cdot x^{\frac 14})^{\frac 12}=x^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 14}\cdot x^{\frac 14}\cdot 2^{\frac 18}\cdot x^{\frac 18} \end{eqnarray*}$

Das ganze kann man jetzt mit den Potenzgesetzen zusammenfassen.

(Im anderen Rechenweg habe ich meinen Fehler noch immer nicht gefunden...)

edit: Zur besseren Lesbarkeit habe ich einen Zeilenumbruch eingefügt
LG sulo

11.03.2010, 19:29

ElBanditos

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ok vielleicht hilft dir ja die abgeleitet Lösung meines Profs

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{7*\sqrt[4]{3*\sqrt{2}}}{8*\sqrt[8]{x}} \end{eqnarray*}$

ich bin für jede Hilfe dankbar

11.03.2010, 22:13

ElBanditos

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so nach langem rätseln... verwirrt

meiner Meinung nach ist

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{x \sqrt{3x \sqrt{2x}}} = \sqrt[8]{x^4*3x^2*2x} = \sqrt[8]{6x^7} = 6x^ \frac {7}{8} \end{eqnarray*}$

und die 1.Ableitung ist dann

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{7}{8\sqrt[8]{5x}} \end{eqnarray*}$

laut Musterlösung soll aber rauskommen:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac {7 * \sqrt [4] {3 \sqrt {2} }} {8\sqrt[8]{x}} \end{eqnarray*}$

bekomme ich die

$\begin{eqnarray*} \sqrt [4] {3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

durch Umformung mit in die Lösung, hab ich etwas übersprungen oder lieg ich sogar ganz daneben mit meiner Lösung??

Danke für Eure Unterstützung smile

12.03.2010, 09:12

sulo

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Hi, ElBanditos,

zuerst möchte ich darauf hinweisen, dass deine Darstellung:

Zitat:

Original von ElBanditos

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x\sqrt {3x\sqrt{2x}}} = \sqrt{x}* \sqrt[4]{3x} * \sqrt[8]{2x} \end{eqnarray*}$

identisch ist mir der von Iorek:

Zitat:

Original von Iorek

$\begin{eqnarray*} x^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 14}\cdot x^{\frac 14}\cdot 2^{\frac 18}\cdot x^{\frac 18} \end{eqnarray*}$

Ihr habt beide Recht. Freude

Jetzt zu deinen Umformungen:

Zitat:

Original von ElBanditos

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{x \sqrt{3x \sqrt{2x}}} = \sqrt[8]{x^4*3x^2*2x} = \sqrt[8]{6x^7} = 6x^ \frac {7}{8} \end{eqnarray*}$

Hier hast du eine Klammer vergessen:

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{x \sqrt{3x \sqrt{2x}}} = \sqrt[8]{x^4*(3x)^2*2x} \end{eqnarray*}$

Wenn du sie so setzt, dann kommst du auf die richtige Lösung, vorausgesetzt, du beachtest, dass grundsätzlich gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{6x^7} \neq 6x^ \frac {7}{8} \end{eqnarray*}$

Hier solltest du noch mal überlegen (Tipp: Denk dir wieder eine Klammer). smile

12.03.2010, 09:38

ElBanditos

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ah ok, Danke

dann sollte es also heißen,

$\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{6x^7} = \sqrt[8]{6^7} * \sqrt[8]{x^7} = 6^\frac {7}{8} * x^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

ist dann auch

$\begin{eqnarray*} \sqrt [8] {6^7} = \sqrt[4]{3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

richtig und wenn ja wie komm ich darauf, kannst du mir einen Hinweis geben wie ich mit solchen Wurzeln umgehen muss, ich habe bisher nur probiert und gerätselt ohne wirkliche Strukturen/Regeln zu erkennen

12.03.2010, 09:59

sulo

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Hm, offenbar das du das mit den Klammern missverstanden:

Zitat:

Original von ElBanditos

$\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{6x^7} = \sqrt[8]{6^7} * \sqrt[8]{x^7} = 6^\frac {7}{8} * x^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

Ich meinte das so:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{6*x^7} =( 6*x^7)^ \frac {1}{8} \neq 6*x^ \frac {7}{8} \end{eqnarray*}$

Und dies:

Zitat:

Original von ElBanditos

$\begin{eqnarray*} \sqrt [8] {6^7} = \sqrt[4]{3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

stimmt auch nicht. Mir ist nicht klar, warum du die 3 und die 2 unterschiedlich behandelst. verwirrt

Wenn du Fragen zu Potenzen/Wurzel hast, solltest du dich mal über die Potenz- und Wurzelgesetze informieren, z.B. bei Wiki. smile

12.03.2010, 10:33

ElBanditos

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hmm ok, Danke! Zum 1., das leuchtet mir ein und hab ich verstanden, aber zum 2. was als Folge der Korrektur nun heißt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt [8] {6} = \sqrt [4] {3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

weil es laut Wurzelgesetz heißt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\sqrt[m]{a} } = \sqrt[n*m]{a} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, das ich laut Musterlösung den Term $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ habe und ich mir nicht erklären kann wie man darauf kommt. Die Wurzel- und Potenzgesetze habe ich mir bereits im Vorfeld angeschaut und kann damit leider nichts anfangen wenn es um die gegebene Aufgabenstellung, also genauer gesagt um Wurzeln der Form $\begin{eqnarray*} \sqrt{a \sqrt{bx\sqrt{cx}}} \end{eqnarray*}$ geht.

12.03.2010, 10:49

sulo

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Zur ersten Aufgabe: Wie heißt denn nun die vereinfachte Form? Augenzwinkern

Zur zweiten Frage:
Das Wurzelgesetz hast du falsch wiedergegeben, es muss so lauten:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a} \end{eqnarray*}$

Und du kannst wie folgt umformen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt [8] {6^7} =\sqrt [8] {2^7\cdot 3^7}= \sqrt [8] {2^7} \cdot \sqrt [8] { 3^7} = 2^{\frac{7}{8}}\cdot 3^{\frac{7}{8}} \end{eqnarray*}$

Mehr sehe ich da nicht...
smile

edit: Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a \sqrt{bx\sqrt{cx}}}= (((cx)^{\frac{^1}{2}}\cdot bx)^{\frac{^1}{2}}\cdot a )^{\frac{^1}{2}} \end{eqnarray*}$

Rechne mit Potenzen, das ist einfacher. Augenzwinkern

edit2: Fast genau das gleiche hat dir Iorek auch schon geschrieben.
Du solltest dir seine Umformung mal genau anschauen und auch selber mal aufschreiben.

12.03.2010, 11:10

ElBanditos

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die vereinfachte Form ist:

Nr.1

$\begin{eqnarray*} (6*x^7)^\frac{1}{8} = 8^\frac{1}{8} * x^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

edit: Du meinst sicher: $\begin{eqnarray*} (6*x^7)^\frac{1}{8} = 6^\frac{1}{8} * x^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$
Das habe ich auch eben erst gesehen, hatte aber schon deine Lösung bestätigt, deswegen editiere ich mal die richtige Version ohne den Tippfehler rein.
LG sulo

Ich habe mir selbstverständlich Ioreks Umformungen aufgeschrieben und angesehen und die Vereinfachung mit Potenzen auch verstanden, aber wie kommt man denn dann auf die Wurzel:

Nr.2

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn es grad den Anschein hat das ich mir keine eigenen Gedanken zur Aufgabe mache, dannn möchte ich dies in aller Form von mir weisen, es ist nur so das ich weder mit Hilfe der Potenzgesetze noch mit Hilfe der Wurzelgesetze auf die in Nr.2 genannte Wurzel komme und einfach nicht weiter weiß. verwirrt

12.03.2010, 11:14

sulo

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Die Umformung zur ersten Aufgabe stimmt Freude

Diesen Ausdruck kann man nun gut ableiten.

Woher stammt denn $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Und: ich weiß schon, dass du mitarbeitest und dir Gedanken machst. Augenzwinkern

12.03.2010, 11:31

Iorek

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Ich wollte mich noch einmal kurz zu Wort melden und mich entschuldigen, dass ich gestern nicht mehr geantwortet habe; meine Freundin stand bei mir vor der Tür, und dann fehlte mir die Zeit weiter zu schreiben. Meinen Fehler im Rechenweg habe ich gefunden, ich hatte 2 Wurzeln falsch zusammengefasst, bin aber nach dem Durchrechnen zum Entschluss gekommen, dass die Umwandlung in Potenzen schöner und schneller geht

Danke auch an sulo, fürs Übernehmen smile

12.03.2010, 11:32

ElBanditos

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\sqrt[4]{3\sqrt{2}} stammt aus ersten Ableitung, dem nach ist:

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x\sqrt{3x\sqrt{2x} } } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{7 * \sqrt[4]{3\sqrt{2}}} {8*\sqrt[8]{x} } \end{eqnarray*}$

nehme man nun die Vereinfachte Wurzel

$\begin{eqnarray*} y=8^\frac{1}{8}*x^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

und leitet sie ab kommt man dann nicht auf:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{7}{8}x^\frac{1}{8}*6^\frac{1}{8} = \frac{7*6^\frac{1}{8}}{8\sqrt[8]{x}} \end{eqnarray*}$

P.S.: bei $\begin{eqnarray*} y' = \frac{7}{8}x^\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ soll das ein negatives hoch 1/8 sein, wie kann man das in Latex machen, ich bekomm mit dem Formeleditor nur Müll hin.

12.03.2010, 12:10

sulo

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} y=6^\frac{1}{8}\cdot x^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

lautet $\begin{eqnarray*} y' = 6^{\frac{1}{8}}\cdot \frac{7}{8}\cdot x^{-\frac{1}{8}} \end{eqnarray*}$

oder auch: $\begin{eqnarray*} y' = \frac{7\cdot 6^\frac{1}{8}}{8\cdot \sqrt[8]{x}} \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis stimmt also Freude

Du hast leider teilweise einen Tippfehler mitgeschleppt, 8 statt 6 geschrieben. Ich habe es dir in einem oberen Beitrag mal verbessert.

Und:
Das negative Hochzeichen schreibt man im vorliegenden Fall so: ^{-\frac{1}{8}} smile

edit:
Beachte allerdings unbedingt: Diese Umformung stimmt nach wie vor nicht!

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{x \sqrt{3x \sqrt{2x}}} = \sqrt[8]{x^4*3x^2*2x} = \sqrt[8]{6x^7} = 6x^ \frac {7}{8} \end{eqnarray*}$

Du hast hier meinen Hinweis nicht umgesetzt (und ich hatte es nicht bemerkt):

Zitat:

Hier hast du eine Klammer vergessen:
$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{x \sqrt{3x \sqrt{2x}}} = \sqrt[8]{x^4*(3x)^2*2x} \end{eqnarray*}$

Du musst also mit folgenden Term rechnen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{x^4*9*x^2*2x} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, statt der 3 musst du 9 schreiben, statt der 6 musst du 18 schreiben.
Ich hoffe, das hat dich jetzt nicht zu sehr verwirrt.
Tut mir leid, dass ich diesen Fehler nicht bemerkt habe, der Thread ist zu unübersichtlich.

LG sulo Wink

12.03.2010, 14:48

ElBanditos

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Huch, bitte entschuldige, habe deinen Hinweis zwar zur Kenntnis genommen, aber es wohl vergessen umzusetzen.

Also haben wir jetzt folgende Ausgangssituation

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{x \sqrt{3x \sqrt{2x}}} = \sqrt[8]{x^4*(3x)^2*2x} = \sqrt[8]{18x^7} = (18*x^7)^\frac{1}{8}=18^\frac{1}{8}*x^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

Um die Sache mal zum Ende zu bringen und um wieder mehr Überblick zu bekommen, die Aufgaben lautet: "Bilden Sie die 1.Ableitung und vereinfachen Sie die Ergebnisse!"

gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{x \sqrt{3x \sqrt{2x}}} \end{eqnarray*}$

vereinfacht man nun die Wurzel erhält man:

$\begin{eqnarray*} y=18^\frac{1}{8}*x^\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

nun bildet man die 1.Ableitung

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{7}{8}*x^{-\frac{1}{8}}*18^\frac{1}{8} = \frac{7*\sqrt[8]{18}}{8*\sqrt[8]{x}} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe bis hier hin ist alles soweit richtig.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Nun nochmal meine Frage bzw. mein Problem:

das Ergebnis laut Lösungsblatt heißt:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{7*\sqrt[4]{3\sqrt{2}}}{8*\sqrt[8]{x}} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf dieses Ergebnis? Habe ich zu weit vereinfacht oder läßt sich die $\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{18} \end{eqnarray*}$ zum Term $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ umformen?

Bitte entschuldigt den mit zunehmender Länge des threat sinkenden Überblick! Gott

Viele Grüße und Danke für Eure Hilfe! smile

12.03.2010, 18:17

sulo

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Zunächst die gute Nachricht: Jetzt stimmt alles. Freude

Zitat:

...oder läßt sich die $\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{18} \end{eqnarray*}$ zum Term $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ umformen?

Ja, das lässt sich so umformen.

Der Einfachheit halber solltest du die 18 in Faktoren zerlegen und statt der Wurzel die Potenzen schreiben, dann siehst du es sicher sofort.
Probiere es mal aus. smile

15.03.2010, 11:21

ElBanditos

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Besten Dank für eure Hilfe Sulo und Iorek,

mein Problem ist gelöst Big Laugh

zur Vollständigkeit und Kontrolle, es heißt also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{18 } = \sqrt[8]{9*2} = \sqrt[4]{3\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

richtig?

P.S.: Ich wollt mich an dieser Stelle noch einmal bei allen Helfern dieses Forums bedanken, ich finde es klasse wie ihr uns mit einer Engelsgeduld mit Rat und Tat zu Seite steht. Freude

Viele Grüße Wink

15.03.2010, 11:45

sulo

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Deine Darstellung ist richtig Freude

Freut mich, wenn wir helfen konnten. Wink

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Vereinfachen von Wurzel aus Wurzel

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