Nicht-stetige additive Funktion R -> R

11.03.2010, 19:31

beuteltier

Nicht-stetige additive Funktion R -> R

Hallo

in einem Beweis bin ich über die Aussage gestolpert, dass eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , welche additiv ist $\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$ linear sein muss. Nun klar, das haut mich nicht aus den Socken, viel mehr frage ich mich nach einem Gegenbeispiel einer nicht-stetigen Funktion, die auch additiv ist, aber eben nicht von der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = cx \end{eqnarray*}$ .

Ich habe also überlegt wie so ein Beispiel aussehen müsste. Man kann leicht zeigen, dass aus der Additivität folgt, dass für rationale Zahlen $\begin{eqnarray*} f(\frac{k}{l}x) = \frac{k}{l} f(x) \end{eqnarray*}$ gelten muss. Bei Stetigkeit würde also sofort Linearität folgen.
Ich müsste nun meine Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ als lineare Funktion definieren, und auf den irrationalen Zahlen notgedrungen abweichend, um ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Hier komme ich aber nicht weiter. Um die Additivität zu gewährleisten, muss f anscheinend auch auf den irrationalen Zahlen linear sein. Es darf dort aber nicht bei 0 gegen 0 konvergieren, da sonst Überall-Stetigkeit folgen würde.

Übersehe ich etwas ganz triviales, oder braucht man da "schwereres Gerät"? Oder exisitieren garkeine nicht-stetigen additiven Funktionen??

11.03.2010, 19:55

Mazze

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Ich habe in einem Lineare Algebra Script der Uni-Frankfurt folgendes gefunden :

Zitat:

Die Mathematiker haben keine Schwierigkeit zu akzeptieren, dass es auch unstetige additive Funktionen gibt, obwohl man die Möglichkeit ausschliessen kann, dass man jemals eine solche unstetige, additive Funktion zu Gesicht bekommt.

In wie fern das stimmt, kann ich schwerlich beurteilen. Hier aber der Link zum Script

Zitat:

Man kann leicht zeigen, dass aus der Additivität folgt, dass für rationale Zahlen $\begin{eqnarray*} f(\frac{k}{l}x) = \frac{k}{l} f(x) \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Du meinst wohl :

$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{k}{l}x\right) = \frac{k}{l} f(1) \end{eqnarray*}$

11.03.2010, 20:36

beuteltier

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Zitat:

Original von Mazze
Ich habe in einem Lineare Algebra Script der Uni-Frankfurt folgendes gefunden :

Zitat:

In wie fern das stimmt, kann ich schwerlich beurteilen. Hier aber der Link zum Script

Zitat:

Man kann leicht zeigen, dass aus der Additivität folgt, dass für rationale Zahlen $\begin{eqnarray*} f(\frac{k}{l}x) = \frac{k}{l} f(x) \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Du meinst wohl :

$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{k}{l}x\right) = \frac{k}{l} f(1) \end{eqnarray*}$

zu 1) hmmm, das ist ja interessant! aber irgendwie keine befriedigende antwort verwirrt

naja besser als garkeine

2) nein, ich meinte das schon so. bist du dir sicher?

11.03.2010, 20:38

Mazze

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Ja, ich hab mich vertan, ich hatte

$\begin{eqnarray*} f(x) = xf(1) ~ x \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

im Hinterkopf. Ist auch ok was Du geschrieben hast für rationales x.

11.03.2010, 21:32

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Mazze
im Hinterkopf. Ist auch ok was Du geschrieben hast für rationales x.

Reicht es nicht das $\begin{eqnarray*} \frac{k}{l} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist?

11.03.2010, 22:14

beuteltier

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denke ich auch. was x ist, ist eigentlich egal. mein setzt es einfach in die additivitäts-gleichung ein...

aber wie ist der satz aus dem skript nun zu verstehen? existiert ein existenz-beweis ohne konstruktion oder wird einfach angenommen, dass eine funktion funktioniert, also eine vermutung sozusagen?

11.03.2010, 22:18

Mazze

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Ja, alle x gehe, ich bin heut leicht verwirrt. Aus dem Satz lese ich heraus das man einen nicht konstruktiven Existenzbeweis führen kann. Aber wie gesagt, ich kann dieses weder Beweisen noch Widerlegen. Aber eine einfache Konstruktion ist denke ich nicht möglich.

11.03.2010, 23:37

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Richtig "vorstellen" (im bildlichen Sinne) kann man sich die nichtstetigen Lösungen der Cauchyschen Funktionalgleichung $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ nicht - aber man kann sich ihnen so nähern:

Die reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann man als unendlichdimensionalen Vektorraum über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ der rationalen Zahlen auffassen. Wegen der bereits oben erwähnten Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} f(qx) = qf(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem eindimensionalen Unterraum $\begin{eqnarray*} x\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ bereits durch einen einzigen Wert (z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ selbst) eindeutig festgelegt. Im nächsten Schritt kann man beliebige endlichdimensionale Unterräume $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ betrachten, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch die Werte auf einer Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ festgelegt. Als Beispiel betrachte man etwa den Unterraum $\begin{eqnarray*} U=Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ , dann folgt mit $\begin{eqnarray*} r=f(1),s=f(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ die Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(a+\sqrt{2}b) = ar + bs \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

auf ganz $\begin{eqnarray*} Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ .

Für die Existenz nichtstetiger Lösungen ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ geht man im Prinzip ganz ähnlich vor, allerdings braucht man dazu die Existenz einer Basis des gesamten Vektorraumes - und die bekommt man unter Nutzung des Auswahlaxioms, eine Skizze dazu findet man in der englischsprachigen Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/ Cauchy%27s... er%5Fsolutions

12.03.2010, 00:10

papahuhn

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Hm, das ist ja interessant. Weißt du auch, wie der Beweis weitergeht?
Angenommen, ich will eine Unstetigkeit in 0 erzeugen, z.b. mit einer Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f(x_n) \equiv c \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Ich glaube, das ginge, wenn die jeweiligen Mengen der relevanten Basisvektoren (Koeffizienten ungleich 0) der $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt wären. Damit könnte man die Werte von $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ beliebig vorgeben. Doch woher weiss man, dass es eine solche unabhängige Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ überhaupt gibt?

Ups, Moment, ich sollte mal den Wiki-Artikel lesen...

12.03.2010, 12:17

beuteltier

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Danke Arthur für die Aufklärung.
Ich wusste nicht, dass das Ding einen Namen hat (und damit auch einen WP-Artikel...). Dachte eigetlich, ich hätte in meinen Erstsem.-Vorlesungen gut aufgepasst, aber solche Beispiele belehren mich immer wieder neu Augenzwinkern

Jetzt ist es um einiges klarer, auch wenn ich zugeben muss, dass das AC mir immer noch Kopfzerbrechen bereitet. Das ist eine Blackbox, die ich noch nicht zufriedenstellend analysiert habe bzw. deren "Berechtigung" ich mir nicht sicher bin.

Wie auch immer. Jetzt bin ich ein Stück schlauer. Dachte zuerst, dass wäre eine dumme Frage und habe mich geärgert, dass ich solange dran rumgekaut habe, aber jetzt seh ich das anders Freude

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