Differentialquotienten bestimmen

11.03.2010, 20:12

Mathelover

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Differentialquotienten bestimmen

Hallo liebe Boardies smile

smile

,
habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie den Differentialquotienten in $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ der folgenden Funktionen, in dem Sie den entsprechenden Differenzenqoutienten verwenden:

a) $\begin{eqnarray*} f(x) = 5x^2 -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{0} = 2 \end{eqnarray*}$

Müsste es dann vielleicht so lauten:

$\begin{eqnarray*} lim = \frac{5x^2 -1}{x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x ->x_{0} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Voraus smile

smile

11.03.2010, 20:22

giles

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Es ist
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)= \lim_{\underset{x\neq x_0}{x\to x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\underset{x \neq x_0}{x \to x_0}} \frac{5x^2-1-(5x_0 ^2 -1)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche man das mal mit deinem Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{5x^2-1}{x-2} \end{eqnarray*}$

Ich sag mal: Zurück zum Zeichenbrett. Erst mal den Ansatz richtig hinschreiben und so weit umformen wie du kommst, danach kannst du immer noch hier fragen.

11.03.2010, 20:37

Mathelover

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Zitat:

Original von giles
Es ist
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)= \lim_{\underset{x\neq x_0}{x\to x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\underset{x \neq x_0}{x \to x_0}} \frac{5x^2-1-(5x_0 ^2 -1)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche man das mal mit deinem Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{5x^2-1}{x-2} \end{eqnarray*}$

Ich sag mal: Zurück zum Zeichenbrett. Erst mal den Ansatz richtig hinschreiben und so weit umformen wie du kommst, danach kannst du immer noch hier fragen.

Da steht aber

$\begin{eqnarray*} x_{0} = 2 \end{eqnarray*}$
Muss es dann nicht so aussehen :
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)= \lim_{\underset{x \neq x_0}{x \to x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\underset{x \neq x_0}{x \to x_0}} \frac{5x^2-1-(5x_0 ^2 -1)}{x-2} \end{eqnarray*}$

11.03.2010, 21:01

giles

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Aha und warum ersetzt du nur genau ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ?

11.03.2010, 21:11

Mathelover

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Achso dann muss ich wohl beide x0er ersetzten
Dann dürfte das so aussehen:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)= \lim_{\underset{x \neq x_0}{x \to x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\underset{x \neq x_0}{x \to x_0}} \frac{5x^2-1-(10 -1)}{x-2} \end{eqnarray*}$

letztendlich:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)= \lim_{\underset{x \neq x_0}{x \to x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\underset{x \neq x_0}{x \to x_0}} \frac{5x^2-1 - 9}{x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)= \lim_{\underset{x \neq x_0}{x \to x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\underset{x \neq x_0}{x \to x_0}} \frac{5x^2-10}{x-2} \end{eqnarray*}$

stimmts bis hier hin smile

smile

?

Vielen Dank giles smile

smile

11.03.2010, 21:34

giles

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Also ist $\begin{eqnarray*} 5\cdot 4 = 10 \end{eqnarray*}$ ? Faszinierend.

Wenn du es gleich geschafft hast, bei

$\begin{eqnarray*} f'(2)=\lim_{x\to 2} \frac{5x^2-20}{x-2} \end{eqnarray*}$

anzukommen, zerlege das Polynom in Linearfaktoren zur Berechnung des Grenzwertes.

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11.03.2010, 21:43

Mathelover

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Sorry für meine Dummheit, habe das ² übersehen.
Nach Polynomdivision kommt folgendes raus:
Grenzwert: 20

korrekt?

ps: Polynomdivision = $\begin{eqnarray*} 5x+10 \end{eqnarray*}$
Für x 2 einsetzten = 20
Also ist die erste Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle 2 = 20
Vielen Dank nochmals

11.03.2010, 21:52

giles

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Ja, das ist richtig.

11.03.2010, 21:56

Mathelover

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ok dann mach ich mich an b)
da heißts $\begin{eqnarray*} f(x) =Wurzel x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{0} = 3 \end{eqnarray*}$

Mal schauen ob ich das hinbekomme smile

smile

Vielen Dank nochmal giles smile

smile

11.03.2010, 22:11

giles

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Für die Berechnung von

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

bedenke, dass $\begin{eqnarray*} x-x_0=(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}) \end{eqnarray*}$

11.03.2010, 22:14

Mathelover

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Ya der dritte binomische Satz:
a²-b² = (a+b) (a-b)
und da es sich um Wurzel handelt fallen die Exponenten weg.
smile

smile

11.03.2010, 23:47

Mathelover

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Hallo giles smile

smile

bin bis zu d) gekommen
aber da häng ich nun.

Hast du vielleicht ein Tipp ?

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{0}>0 \end{eqnarray*}$

vielen Dank im Voraus
smile

smile

11.03.2010, 23:51

giles

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$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{\frac{2}{x}-\frac{2}{x_0}}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Für die Berechnung bedenke

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x}-\frac{2}{x_0}=\frac{2x_0}{xx_0}-\frac{2x}{xx_0}=2\frac{x_0-x}{xx_0} \end{eqnarray*}$

11.03.2010, 23:56

Mathelover

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Vielen Dank aber wie bist du so schnell auf die Idee gekommen einen Hauptnenner zu bilden? Das versteh ich einfach nicht Big Laugh

Big Laugh

. Hast du nützliche Seiten wo man diesen Differenzialquotienten trainieren kann. Wir schreiben bald eine Klausur darüber.

Würde dann auch gerne so schnell wie du auf Ideen kommen.

12.03.2010, 00:06

giles

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Nun in diesem Fall ist es offensichtlich, dass man mit dieser Differenz von Brüchen herzlich wenig anfangen kann; auf den Hauptnenner zu bringen ist eigentlich der nächste logische Schritt.

Ansonsten weiß ich auch nicht was ich dir raten soll, außer dass da nur Erfahrung, Übung und Geschick im Umgang mit Gleichungen hilft. Ich selbst hab schon Eimerweise Collegeblöcke vollgerechnet in meinen paar Semestern, da geht es irgendwann wie von allein.

12.03.2010, 00:08

Mathelover

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ok vielen Dank giles smile

smile

Dann sollte ich mir wohl son Übungsheft mit Differenzialquotienten anschaffen smile

smile

Danke Danke Danke smile

smile

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