glatter Rand

11.03.2010, 22:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
glatter Rand Mal wieder ein Verständnisproblem. Daher würde ich mich über eine kurze klärende Antwort freuen. Ist der Rand eines polyedrischen Gebietes glatt? Danke, tigerbine
11.03.2010, 22:59	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt darauf an, was man darunter versteht. Wir hatten definiert: Ein Kompaktum $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ habe glatten Rand, falls es zu jedem Randpunk $\begin{eqnarray} a\in \partial A \end{eqnarray}$ eine stetig diff.bare Funktion $\begin{eqnarray} \psi : U\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gibt mit folgenden Eigenschaften: i) $\begin{eqnarray} A\cap U = \left\{ x\in U\vert x\in U:\psi(x)\leq 0 \right\} \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} \operatorname{grad} \psi(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ Folgerung: Dann gilt außerdem $\begin{eqnarray} \partial A \cap U =\left\{ x \in U : \psi(x)=0 \right\} \end{eqnarray}$ Damit ist also der Rand eine $\begin{eqnarray} (n-1) \end{eqnarray}$ -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Bei einem Polyeder wäre die Folgerung verletzt. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit kann man lokal immer als Graph einer stetig diff.baren Funktion darstellen, aber wegen den Ecken und Kanten des Polyeders wäre die Ableitungen sofern sie existieren sicherlich nicht stetig.
11.03.2010, 23:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin auf den Begriff "glatt" in Zusammenhang mit der Anwendung des Divergenzsatzes (Gauß'scher Integralsatz) gestoßen. Ich habe das so verstanden, dass dann der Rand des Gebietes glatt sein muss. Später wird das Gebiet - wegen numerisches Lösung eines RWP - polyedrisch genommen. Daher wollte ich wissen, ob auf einem solchen Gebiet der Rand auch glatt ist. Hatte aber wegen der Ecken (wohl zu Recht) bedenken. Man muss dann den Polyeder wohl als Näherung des Gebietes betrachten. Danke für deine schnelle Rückmeldung
11.03.2010, 23:11	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
In Forster Analysis 3, Auflage 5 wird der Integralsatz von Gauß auch nur für glatte Ränder bewiesen. Es steht aber folgender Kommentar darunter: $\begin{eqnarray} \int_A \operatorname{div} F(x)d^n x=\int_{\partial A} \langle F(x),\nu (x) \rangle dS(x) \end{eqnarray}$ "Bemerkung: Der Gaußsche Integralsatz gilt auch noch, wenn der Rand von A nicht glatt ist, sondern niederdimensionale Singularitäten (Kanten, Ecken, etc.) hat und das Vektorfeld F nicht in einer vollen Umgebung von A stetig differenzierbar ist. Für eine solche Verallgemeinerung siehe: H. König, Ein einfacher Beweis des Gaußschen Integralsatzes, Jahresbericht deR DMV, 66 (1964) 119-138."
11.03.2010, 23:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke auch für diese Recherche.

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