Lineare Gleichungssysteme zum Üben

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mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Gleichungssysteme zum Üben
Hallo!

Ich schreibe bald eine Klausur in LA I und da muss ich natürlich lineare Gleichungssysteme lösen können. Das ganze ohne Taschenrechner und schnell. Ist ja auch keine schwere Sache, doch ich denke, dass es mit etwas Übung in der Klausur dann schneller läuft. Deshalb frage ich euch: Kennt ihr eine Seite, auf der es viele solcher Aufgaben zum Üben gibt? Habe hier ein nette gefunden, da kann man sich lineare Gleichungssysteme generieren lassen:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...ungssysteme.htm

Schade ist nur, dass alle Systeme dort genau eine Lösung haben. Ich hätte gerne welche, bei denen es auch einmal keine Lösung gibt oder auch mal ein Lösungsraum.

Auch eine Seite zum Üben der Bestimmung von Determinanten wäre toll. Kennt ihr sowas?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Aufgaben sollte dir gefallen:

1) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems (über den reellen Zahlen):



in den Fällen , , und .

2) Sei . Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von für die Fälle .

Viel Spaß! smile
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Habe zur Aufgabe 1 erst einmal raus, dass das Gleichungssystem nur eine Lösung hat, wenn .

Der Rest kommt noch...
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun habe ich Aufgabe 1 fertig:

Fall 1:



Fall 2:



Fall 3:

Keine Lösung.

Fall 4:

mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von für die Fälle .

Viel Spaß! smile


Was ist denn und ?
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind Kurzschreibweisen für die Restklassenkörper bzw
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösungen zu Aufgabe 1 sind korrekt.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Dann freue ich mich, dass ich Aufgabe 1 richtig gelöst habe und fahre nun fort mit Aufgabe 2 Wink
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Manus
Das sind Kurzschreibweisen für die Restklassenkörper bzw


Die -2 ist dann also für die 0 und für die 1, oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Hast du schonmal mit solchen Restklassenkörpern gearbeitet? Falls nicht bearbeite die Aufgabe doch erstmal nur für .
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Ja. Hast du schonmal mit solchen Restklassenkörpern gearbeitet? Falls nicht bearbeite die Aufgabe doch erstmal nur für .


Also ich habe damit schon gearbeitet, aber hier erst einmal meine Lösung für :





Hier sieht man also, dass eine Lösung für existiert.

Stimmt das soweit?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt, aber die Lösung ist leider noch nicht vollständig. Insbesondere was den Fall angeht.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Es stimmt, aber die Lösung ist leider noch nicht vollständig. Insbesondere was den Fall angeht.


Oh, das stimmt, da haben wir dann:



Ich habe einmal in einem Bruch (a+2) weggeküzt, daran wird es wohl gelegen haben. Um nun diese Lösung zu bekommen, habe ich das ganze System nochmal gelöst und eben für a die -2 eingesetzt.

Gibt es da ein besseres Verfahren? Zur Bestimmung der ersten Lösung habe ich auch Gauß-Jordan angewandt. Ist das sinnvoll oder soll man da erst einmal was anderes machen?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann vorher, falls existent, die zu A inverse Matrix bestimmen, dabei stößt man dann auch auf die zwei Sonderfälle , da man durch den Ausdruck teilt - allerdings ist das letztlich ja auch nur der Gauß-Algorithmus.

Alternativ findet man diese a natürlich auch über die Determinante von A.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn man bemerkt hat, dass es die zwei Sonderfälle gibt, muss man sie diese nochmal speziell anschauen und gucken, was für die herauskommt, oder?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

So, für den zweielementigen Körper ist das Ganze einfach:

a darf ja nicht 1 sein, also ist a 0. Für 0 gibt es aber viele Möglichkeiten, da ja 0 auch -2 ist, diese vielen Möglichkeiten sind genau die folgenden zwei:

1, 0, 0 oder 0, 1, 1

Für den dreielementigen Körper:

Hier fällt -2 mit 1 zusammen, also müssen wir nur a=0 und a=2 betrachten:

Durch Einsetzen erhalten wir:

a=0: 2, 2, 2
a=2: 1, 1, 1
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösungen für und sind richtig, die für ist jedoch nicht korrekt. Da ich nicht viel Zeit habe, um online zu bleiben, gebe ich dir die Lösung zur Kontrolle an:

mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank. Was du geschrieben hast stimmt in dem aber mit meiner Lösung überein. Warum es für a=1 nun doch eine Lösung gibt und warum sie deine Form hat, muss ich mir mal überlegen.

Vielen Dank auf jeden Fall für deinen Aufgaben. Die haben mir so einiges nochmal klar gemacht.
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