Grenzwert einer Folge

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12.03.2010, 11:56	Churchi	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge Soll den Grenzwert folgender Folge bestimmen: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{3^{n} + 7^{n} + 9^{n} } \end{eqnarray}$ Habe leider überhaupt keinen Ansatz! Habt ihr eine Idee?
12.03.2010, 12:00	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal hilft es, zu wissen, was der Grenzwert ist. Ich verrate ihn dir, vielleicht kommst du dann darauf, wie man das zeigt: $\begin{eqnarray} a_n \to 9 \; (n \to \infty) \end{eqnarray}$ Hast du eine Idee, wie man darauf kommt? Eigentlich gibt es hier keine Lösungen, aber in diesem Fall ist es klug, so vorzugehen. Das Ergebnis alleine bringt dir nämlich nichts.
12.03.2010, 12:28	Churchi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ... Also so richtig weitergeholfen hat mir das nicht! Wahrscheinlich einfach vom höchsten Glied, die Wurzel ziehen! Hat sich auch beim rumprobieren mit dem Taschenrechner gezeigt, aber wie komm ich denn formal darauf? Oder gibt es dafür eine bestimmte Regel?
12.03.2010, 13:24	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagt dir das Sandwich-Theorem etwas? Andere nennen es Einschnürungssatz. Du musst jetzt die beiden Folgen finden, die gegen 9 konvergieren.
13.03.2010, 15:03	Churchi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, dass ich eine Lösung gefunden habe! $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{3^{n} + 7^{n} + 9^{n} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{9^{n}\left(\frac{3^{n}}{9^{n}} + \frac{7^{n}}{9^{n}} + 1 \right) } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{9^{n} } \sqrt[n]{\left(\frac{1}{3} \right) ^{n} + \left(\frac{7}{9} \right) ^{n} + 1 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 9 \cdot 1 = 9 \end{eqnarray}$ Kann man das so schreiben?
13.03.2010, 15:14	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, bzw. das hilft dir nicht weiter. Du kannst es so schreiben, aber dafür musst du beweisen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\left(\frac{1}{3} \right) ^{n} + \left(\frac{7}{9} \right) ^{n} + 1 } \end{eqnarray}$ gegen 1 konvergiert. Dazu brauchst du wieder das Sandwhich-Theorem, d.h. du bräuchtest zwei Folgen, die diese Folge einschachteln und gegen 1 konvergieren. Intuitiv machst du das richtige, die größte Zahl unter der Wurzel ist der bestimmende Faktor. Formal musst du das aber beweisen. Schätz die Terme unter der Wurzel geeignet ab. Fällt dir gar nichts ein?
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13.03.2010, 18:44	KeinPlanVonMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschuldigung dass ich mich einmische, aber ich sitze gerade an einer ähnlichen Aufgabe. Könnte man in diesem Fall zb die beiden Folgen $\begin{eqnarray} a_n= 9+1/n² \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n=9-1/n² \end{eqnarray}$ nehmen, oder darf es keine Überschneidung geben ?
13.03.2010, 18:51	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Folgen schachteln die anderen nicht ein: $\begin{eqnarray} a_2 = 9,25 \; b_2 = 8,75 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \sqrt{139} \approx 11,79 \end{eqnarray}$
13.03.2010, 19:37	KeinPlanVonMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber konvirgiert die (ursprüngliche) Folge überhaupt gegen 9 ? Habe es mal sozusagen als Funktion gezeichnet Da sieht es aus, als ob es gegen 1 konvergiert. Mir fällt aber auf Anhieb keine Funktionen ein, die es einschnüren
13.03.2010, 20:27	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss nicht, was du da geplottet hast, aber diese Folge ist schon für n = 20 verdammt nahe an der 9. Ich mach mal die eine Richtung, für die andere müsst ihr schon selber überlegen: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{3^{n}+7^{n}+9^{n}} \leq \sqrt[n]{3 \cdot 9^n} = \sqrt[n]{3} \cdot \sqrt[n]{9^n} \to 9 \; (n \to \infty) \end{eqnarray}$
13.03.2010, 20:54	KeinPlanVonMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, habe es mit meiner Aufgabe die ich hier liegen habe durcheinandergeworfen Ich bin hier jetzt auf die Lösung gekommen, und habe den Einschnürungstrick verstanden. Falls noch Fragen auftauchen, mache ich das mal lieber im seperaten Thread

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