Basis vom Kern bestimmen

12.03.2010, 16:13

Unrockstar

Basis vom Kern bestimmen

hallöle nun das zweite mal aber im richtigen forum
also ich schreibe in 3 wochen meine mathe nachschreibeklausur und wollte wissen ob folgende aufgabe richtig ist

A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ -2 & -4 & 1 & -4 \\ 1& 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich hab diese matrix auf stufenform gebracht

A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann das gelcihungssystem gebildet

x1 + 2*x2 + 3*x4 = 0
x3 + 2*x4 = 0

dann hab ich x2=t gesetzt und x4= r
dieses eingesetzt ergabe dann x1=-2r - 3t und x3 = -2t

basis ist dann r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist die vorgehensweise und damit auch das ergebnis richtig?

12.03.2010, 16:35

Mazze

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Der Vektor

$\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gehört zum Kern, denn

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ -2 & -4 & 1 & -4 \\ 1& 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist auch $\begin{eqnarray*} \lambda v \end{eqnarray*}$ für alle Lambda im Kern. Aber

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ -2 & -4 & 1 & -4 \\ 1& 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -10 \\-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daher ist der Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nicht im Kern. Schau Dir nochmal an wie Du den zweiten Vektor gewählt hast.

12.03.2010, 17:04

Unrockstar

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also erstens müsste der vektor den ich raus habe wie folgt heißten
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun meine Frage so sinnlos sie erscheint wie berechnest du denn das ergebnis von der matrix mit dem vektor?
hab viel rumgeschaut aber komm irgendwie nicht drauf -.-
aber nun weiß ich das jeder vektor multipliziert mit der matrix 0 ergeben muss ds hilft zur kontrolle schon

12.03.2010, 17:13

Mazze

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Zitat:

aber nun weiß ich das jeder vektor multipliziert mit der matrix 0 ergeben muss ds hilft zur kontrolle schon

Das hättest Du schon vorher wissen müssen. Der Kern einer Matrix A sind alle Vektoren x für die $\begin{eqnarray*} Ax = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Daher muss natürlich bei der Probe mit deiner Lösung Null heraus kommen.

Zitat:

nun meine Frage so sinnlos sie erscheint wie berechnest du denn das ergebnis von der matrix mit dem vektor?

Wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert solltest Du eigentlich wissen oder? Hier findest Du alles nötige.

12.03.2010, 17:15

Unrockstar

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ja manchmal scheint es mir ich bin ein bissl beschränkt ^^
natürlich hätte ichd as wissen müssen^^

12.03.2010, 17:18

Unrockstar

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ich versteh das mit der multiplikation nicht -.-
da muss doch nen dreiertupel bei raus kommen oder nicht

12.03.2010, 17:24

Mazze

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Zitat:

ich versteh das mit der multiplikation nicht -.- da muss doch nen dreiertupel bei raus kommen oder nicht

Du hast recht, es muss korrekt :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ -2 & -4 & 1 & -4 \\ 1& 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ 6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

heissen. Man, da hab ich ja ganz schön viele Fehler gemacht. Allerdings ist der Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine richtige Lösung.

12.03.2010, 17:28

Unrockstar

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danke nun ergibt das auch einen sinn smile

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