Gegeben ist die Kurve K...

12.03.2010, 19:15

GenervtVonMathe

Gegeben ist die Kurve K...

Gegeben ist die Kurve K mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}(x+3)e^{-x} \end{eqnarray*}$

a) Geben sie den Definitionsbereich an.

b)Berechnen sie die Gleichung der horizontalen Asymptote von K für $\begin{eqnarray*} {x \to \infty } \end{eqnarray*}$ . Bestimmen sie $\begin{eqnarray*} {x \to \infty } \end{eqnarray*}$ .

c) Bestimmen sie die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

d) Berechnen sie die Koordinaten des Extremums bzw. des Wendepunkts.

e)Vom Punkt P (p/0) werden Tangenten an die Kurve K gelegt. Für welche Werte von p erhält man 2Tangenten, 1 Tangente bzw. keine Tangente?

a) D=R. Oder ?

b) Ist die Asymptote 0 ? Ich habe hier irgendwas gerechnet nur weiß ich nicht ob es richtig ist. Sieht so aus: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }\frac{0,5(x+3)}{e^x} = \lim_{x \to \infty }\frac{0,5}{e^x} {\to 0} \end{eqnarray*}$

Und:
\lim_{x \to {-\infty} }\frac{0,5}{e^x}{\to

c) Habe ich Mal im Kopf errechnet, sollte -3 ergeben.

d) Ableiten kann ich's, doch ich habe Probleme beim =0 setzen.

e) Wie mache ich das?

mfg

12.03.2010, 19:34

corvus

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RE: Gegeben ist die Kurve K...

Zitat:

Original von GenervtVonMathe
Gegeben ist die Kurve K mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}(x+3)e^{-x} \end{eqnarray*}$

c) Bestimmen sie die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

d) Berechnen sie die Koordinaten des Extremums bzw. des Wendepunkts.

e)Vom Punkt P (p/0) werden Tangenten an die Kurve K gelegt. Für welche Werte von p erhält man 2Tangenten, 1 Tangente bzw. keine Tangente?

..
c) Habe ich Mal im Kopf errechnet, sollte -3 ergeben.

d) Ableiten kann ich's, doch ich habe Probleme beim =0 setzen.

c) klar .. aber dazu brauchst du keinen grossen Kopf smile

d) probiers wieder mit demselben ..
schreib zuerst deine Ableitungen auf in der Form $\begin{eqnarray*} .. =\frac{1}{2}(ax+b)e^{-x} \end{eqnarray*}$

e) skizziere dein f(x) .. das bringt dich sicher auf Ideen ..

.

13.03.2010, 10:31

GenervtVonMathe

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Die Ableitung sollte ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{0,5e^x-(0,5x+3)e^x}{(e^x)^2} \end{eqnarray*}$
sein. Oder irre ich mich ?

mfg

13.03.2010, 11:11

corvus

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}(x+3)e^{-x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von GenervtVonMathe
Die Ableitung sollte ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{0,5e^x-(0,5x+3)e^x}{(e^x)^2} \end{eqnarray*}$ geschockt

sein. Oder irre ich mich ?

.............. und wie!

ich habe dir oben schon die Form der Ableitungen notiert :

$\begin{eqnarray*} .... =\frac{1}{2}(ax+b)e^{-x} \end{eqnarray*}$

such den (Klammer-)Fehler bei der von dir angewandten Quotientenregel
oder verwende Produkt- und Kettenregel

und rechne dann so lange, bis du für a= - 1 und für b= - 2 raus hast.
(du darfst dann beim Ergebnis, wenn du willst, ( - 1 ) ausklammern..)

Wink

13.03.2010, 11:20

GenervtVonMathe

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Ich meine Natürlich so:

$\begin{eqnarray*} \frac{0,5e^x-(0,5x+1,5)e^x}{(e^x)^2} \end{eqnarray*}$

entspricht das der Ableitung?

Ich werd's mal mit der von dir genannten Form probieren.

13.03.2010, 11:41

GenervtVonMathe

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---

13.03.2010, 11:48

Q-fLaDeN

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Die Ableitung ist richtig. Klammere $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ im Zähler aus und kürze dann. Anschließend kannst du in die Form umschreiben, die von corvus gegeben wurde.

13.03.2010, 11:55

GenervtVonMathe

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Ich komme auf ein Ergebnis von -2 was auch ca. dem entspricht was mein Taschenrechner ausspuckt.

Der sagt x=-1,999...

13.03.2010, 12:17

Q-fLaDeN

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Dann zeig nochmal deine Umformung, wenn du die nämlich hast, brauchst du doch gar keinen Taschenrechner.

Übrigens ist

$\begin{eqnarray*} -1.9999 ... =- 1. \overline 9 = -2 \end{eqnarray*}$

13.03.2010, 12:26

GenervtVonMathe

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$\begin{eqnarray*} \frac{0,5e^x-(0,5x+1,5)e^x}{e^x*e^x} \end{eqnarray*}$

Habe halt die $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ rausgekürzt

Wodurch ich dann die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0,5-(0,5x+1,5) \end{eqnarray*}$ erhalten habe.

Diese Form: $\begin{eqnarray*} 0,5-(0,5x+1,5) \end{eqnarray*}$ ? Oder welche meinst du ?

PS: Taschenrechner habe ich nur zum überprüfen und das mit dem auf -2 aufrunden wusste ich wohl auch noch Big Laugh

mfg

13.03.2010, 12:34

Q-fLaDeN

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Mit runden hat das nichts zu tun, das ist einfach eine Tatsache, dass

$\begin{eqnarray*} 0.\overline 9 = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ rauskürzt, wieviel $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ bleiben denn dann noch im Nenner übrig? Der verschwindet doch nicht einfach so.

13.03.2010, 12:40

GenervtVonMathe

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Wenn man beides Rauskürzt kommt ja jeweils 1 raus, und da 1*1=1 und dies im Nenner steht, brauche ich dies doch gar nicht aufzuschreiben, oder habe ich einen Fehler gemacht?

13.03.2010, 12:53

Q-fLaDeN

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Das kann doch nicht sein... unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{0,5e^x-(0,5x+1,5)e^x}{e^x \cdot e^x} = \frac{e^x(0.5-(0.5x+1.5)}{e^x \cdot e^x} = \frac{0.5-0.5x-1.5}{e^x} \end{eqnarray*}$

Du kürzt doch nur einmal $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ raus, dann fallen doch nicht beide weg.
Hoffentlich schaffst dus jetzt, das umzuschreieben Augenzwinkern

13.03.2010, 12:57

GenervtVonMathe

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Was ich mich frage ist. Wieso ? Wieso Klammert man es aus und kürzt nur eins von beiden raus ? Wieso nicht gleich Beide, wenn es nicht ausgeklammert ist?

Und was mich wundert, ich bin doch auch trotzdem auf das richtige Ergebnis gekommen oder nicht? Wieso sollte ich es dann anders machen ? verwirrt

13.03.2010, 13:12

Q-fLaDeN

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Ah, jetzt verstehe ich was du gemacht hast.

Nur mal zur Erinnerung:
Aus Differenzen und Summen kürzen nur...

Im Zähler steht eine Differenz, und da kann man nicht einfach kürzen. Kürzen kann man nur aus Produkten, deshalb muss man $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ vorher ausklammern.

Du bist nur aus dem Grund auf die richtige Lösung gekommen, weil der Faktor $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ niemals 0 wird, deshalb muss man nur noch den anderen Faktor untersuchen, und der liefert $\begin{eqnarray*} x = -2 \end{eqnarray*}$

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