gauss quadratur gewichte

12.03.2010, 19:44	numeriklerner	Auf diesen Beitrag antworten »
gauss quadratur gewichte Meine Frage: Hi ihr, bin gerade dabei die Gauss-quadratur zu verstehen. Aber ich hänge immer noch an der Stelle, wie sich die Knoten alpha_i ergeben. Bei uns sind diese als das Integral über der Gewichtsfunktion und den quadrierten Lagrange-Polynomen gegeben. Was ich nicht verstehe ist, wieso gerade das Quadrat? Danke, Gruß Meine Ideen: Nur damit die Knoten positiv werden?
12.03.2010, 20:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gauss quadratur gewichte Ich komme in deine Fragestellung nicht ganz rein. Kannst du die Definitionen bitte mal aufschreiben? Das mit dem Quadrat ist mir nur aus dem Beweis, dass die Gewichte positiv bekannt. Hier hat man aber eher ausgenutzt, das die LAgrange-Polynome ja "Polynome bestimmten Grades sind" und wo sie in der Auswertung in der Summe nachher schon wegfallen. [WS] Numerische Integration -Theorie
13.03.2010, 01:04	numeriklerner	Auf diesen Beitrag antworten »
bei uns sind die $\begin{eqnarray} alpha_{j} = \int_a^b \! g(x)l(x)^2 \, dx \end{eqnarray}$ , wobei g(x) die Gewichtsfunktion und l(x) die Langrag'schen Basispolynome sind. So haben wir immer die Gewichte ausgerechnet. Die Frage ist nur, woher diese Formel kommt, bzw. wieso $\begin{eqnarray} l(x)^2 \end{eqnarray}$ Das einzig brauchbare in dem Beweis war: $\begin{eqnarray} 0 < \int_a^b \! g(x)l(x)^2 \, dx = \sum\limits_{k=0}^n alpha_{k}l(x_{k})^2 = alpha_{k} \end{eqnarray}$ , wobei die erste Gleichheit folgt, weil $\begin{eqnarray} grad(l(x)^2) = 2n \end{eqnarray*}$ , also exakt integrierbar. Hoffe das macht meine Frag klarer.
13.03.2010, 01:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich irritiert, dass du zuerst schreibst, das ist so (mit fehlt :=) und dann, in dem Beweis. Ich habe dir ja einen Link geben. Um zu zeigen, dass die Gewichte positiv sind, bedient man sich des "Tricks", die Lagrangepolynome zu betrachten. Das ist aber etwas anderes, als die Gewichte so zu definieren. Ich kenne sie so definiert: [WS] Numerische Integration -Theorie Ohne Quadrat. Das Quadrat taucht nur in dem vorher verlinkten Beweis auf, aber rüht vpn etwas ganz anderem her.
13.03.2010, 10:06	numeriklerner	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, ok. Also: $\begin{eqnarray} alpha_{i}:=\int_a^b \! g(x)l(x)^2 \, dx \end{eqnarray}$ Mit dieser Formel haben wir auch immer die Gewichte berechnet. Wenn man die Gewichte ohne Quadrat, also so: $\begin{eqnarray} alpha_{i}:=\int_a^b \! g(x)l(x) \, dx \end{eqnarray}$ berechnet, bekommt man dann nicht andere $\begin{eqnarray} alpha_{i} \end{eqnarray}$ ? Und wenn das selbe rauskommt, warum haben wir das dann immer so kompliziert gemacht? Theoretisch müsste ja dasselbe rauskommen, weil die Gauß-Quadratur eindeutig ist. Irgendwie verwirrt micht das. Danke, Gruß
13.03.2010, 13:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Da müsstest du deinen Prof. oder deinen Übungsgruppenleiter fragen. Das, wo mir das ()² begegnet ist, habe ich oben gepostet. Da man auch hier am Ende ein Polynom sucht, nur eben für ein Gewichtetes Integral (Achtung: Gewichtsfunktion und Gewichte sind hier zwei getrennte Sachen!), ergeben sich die Gewichte - völlig analog zum ungewichteten Integral - mit den Integralen der Lagrangefunktionen. Ich bitte dich, da Rückfrage zu nehmen und dein Ergebnis hier einzustellen. Würde mich sehr interessieren. Gruß, tigerbine
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