Null im Sinne der Spur

13.03.2010, 01:01

tigerbine

Null im Sinne der Spur

Hallo,

ich habe folgende Definition, weiß aber nicht, was "Null im Sinne der Spur" bedeutet.

$\begin{eqnarray*} V= \{u \in H^1(\Omega) ~|~u=0 \text{ auf } \partial \Omega \text{ im Sinne der Spur}\} \end{eqnarray*}$

Danke für Hilfe.

13.03.2010, 10:41

Leopold

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Da ich nicht weiß, um welches Themengebiet es hier geht, kann ich nur vermuten. Wohl ist $\begin{eqnarray*} \partial \Omega \end{eqnarray*}$ der Rand einer Mannigfaltigkeit oder so etwas. Diesen Rand kann man als Klasse von äquivalenten Parameterdarstellungen auffassen. Hier geht es aber nur um die Spur, also die Punktmenge, die durch die Parameterdarstellung erfaßt wird. Orientierung und andere Dinge spielen keine Rolle.

Wenn etwa $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ der komplexe Einheitskreis ist, dann ist ja $\begin{eqnarray*} \partial \Omega \end{eqnarray*}$ bei positiver Orientierung streng genommen die Äquivalenzklasse von Parameterdarstellungen, in der etwa $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ [- 1,1] \to \mathbb{C} \, , \ \ t \mapsto z = \operatorname{e}^{2 \pi \operatorname{i} t} \end{eqnarray*}$

liegt. Und wenn es nun heißt: $\begin{eqnarray*} \partial \Omega \end{eqnarray*}$ im Sinne der Spur, dann ist damit einfach

$\begin{eqnarray*} \varphi \left( [-1,1] \right) = \left\{ z \in \mathbb{C} : \, |z| = 1 \right\} \end{eqnarray*}$

gemeint. Der Strang sollte also nicht mit "Null im Sinne der Spur", sondern mit " $\begin{eqnarray*} \partial \Omega \end{eqnarray*}$ im Sinne der Spur" überschrieben sein.

So mein Verdacht.

13.03.2010, 10:54

system-agent

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$\begin{eqnarray*} H^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ besteht aus gewissen Funktionen von $\begin{eqnarray*} L^2(\Omega) \end{eqnarray*}$ .
Hier ist der Spursatz gemeint.

13.03.2010, 12:59

tigerbine

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Danke euch beiden. Es ist das gemeint, was system-agent gespostet hat. Sein Interpretationsvorteil ist, dass er weiß, dass ich mich gerade mit ellip. DGLs herumschlage. Augenzwinkern

Stelle fest, dass mir das englische wiki zu diesen Themen deutlich besser gefällt.

13.03.2010, 13:07

kiste

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Tja bine was lernen wir daraus? Immer die kompletten Informationen in den Anfangsthread stellen, sonst müssen die Helfer raten Big Laugh

13.03.2010, 13:46

tigerbine

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Habe ja nicht geahnt, dass der Begriff nicht eindeutig ist. Augenzwinkern

Beim Lesen des wikis tritt nun vorab ein weiteres Problem auf. So wie ich es verstehe, ist die Einführung des Begriffs "Null im Sinne der Spur" deswegen nötig, um u - die Lösung des DGL - sinnvoll definieren zu köennen, indem Sinne, was man von der Funktion erwartet. Problematisch ist, dass $\begin{eqnarray*} \partial \Omega \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge ist.

So, warum ist das denn eine Nullmenge? Ups

Gedanklich entsteht folgendes Problem für mich. Zur Herleitung der "Variationsgleichung - schwache form der DGL" mußte man den Divergenzsatz benutzen. Der, so dachte ich, stellt doch ein Integral über das Gebiet in Bezug zu einem Integral über den Rand? Aber da wird doch nicht immer Null rauskommen. verwirrt

Bei der Herleitung der schwachen Form tritt folgendes auf. Start und Ziel war gegeben, wir haben versucht uns das herzuleiten. u soll die Lösung der DGL sein und v ein bel. Testvektor, der auch aus v stammt.
$\begin{eqnarray*} -\int_{\Omega} \triangle u v ~dx &&= - \int_{\Omega} \nabla (\nabla u) v~ dx \quad (\text{Def.} \triangle)\\ &&= - \int_{\Omega} \nabla (v \nabla u)~dx + \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v~dx \quad (\text{Produktregel } \nabla)\\ &&= - \int_{\Omega} \operatorname{div}(v \nabla u)~dx + \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v~dx \quad (\text{Def. Divergenz})\\ &&= -\int_{\partial \Omega} ~v\nabla u \cdot \nu ~dx + \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v~dx \quad (\text{Divergenzsatz}) \\ && = \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v~dx (?)\\ \end{eqnarray*}$

Offen ist nun, warum das Randintegral in der letzten Zeile verschwindet. Wir dachten, da in anderen Quellen einfach nur "v=0 auf dem Rand" stand, dass das Integral deswegen gleich Null ist. Das heiße dann, für nichtverschwindendes v muss das Integral nicht 0 sein. Oder ist es 0 weil der Rand eine Nullmenge ist?

Ich hoffe alle nötigen Infos stehen drin. Wink

13.03.2010, 19:55

system-agent

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Zuerst: Mit den Integralnotationen kann ich leider nicht umgehen. Aber zb der Gausssatz oder allgemeiner Stokes sagt, dass man ein Integral von einem Ding über ein Gebiet schreiben kann, als ein Integral über ein anderes Ding über den Rand.

Das eine Integral über das Gebiet [zb ein Kreis] fasst das Gebiet als deinen Raum auf und da ist es egal was auf Nullmengen passiert [zb Geraden].
Das Andere Integral fasst den Rand des Gebietes [Kreislinie] als neues Gebiet auf und da ist es egal was auf den dort zugehörigen Nullmengen passiert [zb Punkte].
Der Witz vom Satz von Stokes ist gerade, dass diese beiden sehr verschiedenen Sichtweisen [meistens] das Resultat nicht ändern.

Das Problem hier ist aber, dass du eine Funktion $\begin{eqnarray*} u\in H^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ hast [oder haben willst].
Doch was ist das? Tatsächlich ist es nur noch eine Klasse von gewissen quadratintegrablen Funktionen, die fast überall gleich sind auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ [dh bis auf eine Nullmenge].
Auswertung in einem Punkt $\begin{eqnarray*} p\in \Omega \end{eqnarray*}$ einer Funktionsklasse ist ersichtlich nicht möglich dh so wie man "normalerweise" die Einschränkung einer Funktion auf eine Teilmenge definiert ist hier aussichtslos.
Also was soll die Einschränkung einer Klasse von quadratintegrablen Funktionen auf den Rand eines Gebietes sein?
Die Antwort darauf gibt der Spursatz.

13.03.2010, 20:05

tigerbine

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Zitat:

Original von system-agent
Das eine Integral über das Gebiet [zb ein Kreis] fasst das Gebiet als deinen Raum auf und da ist es egal was auf Nullmengen passiert [zb Geraden].
Das Andere Integral fasst den Rand des Gebietes [Kreislinie] als neues Gebiet auf und da ist es egal was auf den dort zugehörigen Nullmengen passiert [zb Punkte].
Der Witz vom Satz von Stokes ist gerade, dass diese beiden sehr verschiedenen Sichtweisen [meistens] das Resultat nicht ändern.

Also haben die Integrale auf den beiden des Satzes unterschiedliche Nullmengen. Daher wird das Links nicht Null wegen einer Nullmenge.

Die Notationen sind je Skript anders. Manche kennzeichnen bei Gauss noch das Integral ("mit kleiner Dimension" ) mit einem anderen Symbol. Andere nuscheln es imho weg, da sie links und rechts die gleichen Schreibweisen verwenden.

Fakt muss sein, dass für das Randintegral gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial \Omega} ~v\nabla u \cdot \nu ~dx =0 \end{eqnarray*}$ (*)

Dabei soll $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ der Normalenvektor aus dem Divergenzssatz sein. v ist nun eine Testfunktion aus dem Eingangs gepostetetn Raum [Soweit ich die Theorie bislang c´verstanden habe, wählt man den, um Eindeutigkeitsaussagen bzgl. der schwachen Lösung zu erhalten. Es liegen dann auch sowohl u als auch v in diesem Raum]

$\begin{eqnarray*} V= \{u \in H^1(\Omega) ~|~u=0 \text{ auf } \partial \Omega \text{ im Sinne der Spur}\} \end{eqnarray*}$

Also gilt nun (*), weil v auf dem Rand Null im Sinne der Spur ist? Und ich brauche diese Formulierung, um Funktionen eindeutig aus dem $\begin{eqnarray*} H^1 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Das meinstest du doch mit

Zitat:

Das Problem hier ist aber, dass du eine Funktion $\begin{eqnarray*} u\in H^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ hast [oder haben willst].
Doch was ist das? Tatsächlich ist es nur noch eine Klasse von gewissen quadratintegrablen Funktionen, die fast überall gleich sind auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ [dh bis auf eine Nullmenge].
Auswertung in einem Punkt $\begin{eqnarray*} p\in \Omega \end{eqnarray*}$ einer Funktionsklasse ist ersichtlich nicht möglich dh so wie man "normalerweise" die Einschränkung einer Funktion auf eine Teilmenge definiert ist hier aussichtslos.
Also was soll die Einschränkung einer Klasse von quadratintegrablen Funktionen auf den Rand eines Gebietes sein?
Die Antwort darauf gibt der Spursatz.

13.03.2010, 20:28

system-agent

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Zitat:

Original von tigerbine
Die Notationen sind je Skript anders. Manche kennzeichnen bei Gauss noch das Integral ("mit kleiner Dimension" ) mit einem anderen Symbol. Andere nuscheln es imho weg, da sie links und rechts die gleichen Schreibweisen verwenden.

Dann ein Tipp: Nutze Differentialformen, da gibts nur ein Integral Augenzwinkern

Zitat:

Original von tigerbine
Also gilt nun (*), weil v auf dem Rand Null im Sinne der Spur ist? Und ich brauche diese Formulierung, um Funktionen eindeutig aus dem $\begin{eqnarray*} H^1 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Ja.

Vielleicht hilft dir ja auch eine andere Formulierung vom Spursatz:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen, beschränkt mit stückweisem $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ -Rand. Die lineare Abbildung
$\begin{eqnarray*} C^{\infty}(\bar{\Omega})\to C(\partial\Omega) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v\mapsto v|_{\partial\Omega} \end{eqnarray*}$
lässt sich in eindeutigerweise zu einer stetigen linearen Abbildung
$\begin{eqnarray*} \gamma: H^1(\Omega)\to L^2(\partial\Omega) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v\mapsto\gamma(v) \end{eqnarray*}$
fortsetzen.

Das heisst:
Wenn du eine "normale" Funktion auf den Rand einschränkst, dann heisst das auch gleich den "Raum" zu wechseln [anstatt Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ betrachtet man bloss noch Funktionen auf der Menge $\begin{eqnarray*} \partial\Omega \end{eqnarray*}$ ].
Der Spursatz sagt, dass dies trotz aller vorhin angetönten Probleme auch für Elemente vom Sobolevraum geht. Das Resultat ist dabei eine Klasse von quadratintegrablen Funktionen auf dem Rand des Gebietes.

Anders gesagt dein Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ besteht aus allen Elementen von $\begin{eqnarray*} H^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ , deren Bild unter dem Spursatz die Klasse der Nullfunktion auf $\begin{eqnarray*} \partial\Omega \end{eqnarray*}$ ist. Deswegen verschwindet das Integral auch [du integrierst über den Rand eine Funktion, die fast überall auf dem Rand Null ist].

13.03.2010, 20:37

tigerbine

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Dankeschön. Ich hoffe, ich habe es verstanden. Augenzwinkern

14.03.2010, 08:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von system-agent
Anders gesagt dein Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ besteht aus allen Elementen von $\begin{eqnarray*} H^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ , deren Bild unter dem Spursatz die Klasse der Nullfunktion auf $\begin{eqnarray*} \partial\Omega \end{eqnarray*}$ ist.

Entschuldige, aber das finde ich etwas unglücklich formuliert. Ein Satz hat doch kein Bild. Ich würde es so formulieren: "Der Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ besteht aus allen Elementen von $\begin{eqnarray*} H^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ , deren Bild unter dem Spuroperator Null ist." Oder auch gleich: "Der Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist der Kern des Spuroperators." Augenzwinkern

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