Charakteristik von Ringen und Körpern |
| 13.03.2010, 12:59 | *ginger* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Charakteristik von Ringen und Körpern hii, ich hätte eine frage zum thema charakteristik von Ringen und Körpern... ich soll zeigen, dass der restklassenring (Zm;+;.) die Charakteristik char (Zm) = m, sowie die Körper (Q;+;.) und (R;+;.)und der Ring (Z;+;.) die Charakteristik 0 haben auf meinem einen zettel steht, dass die charakteristik angibt, wie oft man das neutrale element der Multiplikation addieren muss, um das neutrale Element der Addition zu erhalten.. ich weiß aber nicht so genau was damit gemeint ist.. könnte es mir bitte jemand erklären? Meine Ideen: ich hab gedacht, dass das damit gemeint ist: beispiel: Z8 1+1+1+1+1+1+1+1=8 8:8= 1 rest 0 (=neutrales element bezüglich der addition) somit hätte man gezeigt das für Zm: char(Zm)=m ist, oder? wenn ja, dann versteh ich nicht dass für (Z;+;.) = char0 gilt.. ich versteh auch nicht den unterschied zwischen Zm und Z :-( über eure hilfen wäre ich sehr dankbar ;-) |
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| 13.03.2010, 13:02 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Beispiel mit Z8 stimmt. Du musst noch erwähnen dass dies tatsächlich die minimale Anzahl ist. Naja in Z kannst du nie mehr die 0 bekommen wenn du immer wieder die 1 addierst, die Zahl wird doch immer größer. Also ist die Charakteristik 0. Z sind die normalen ganzen Zahlen. Zm sind die Restklassen modulo m. Kannst du dir wie eine Uhr vorstellen. Nachdem du m mal den Zeiger bewegt hast bist du wieder am Anfang |
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| 13.03.2010, 13:08 | *ginger* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
restklassenring bedeutet also, dass der rest das neutrale element bezüglich der addition rauskommen muss und beim ring müsste dann die summe 0 sein, oder? und wie zeige ich das bei (Q;+;.) und (R;+;.)? |
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| 13.03.2010, 13:14 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den ersten Satz verstehe ich nicht einmal grammatikalisch. Bei Q und R geht es analog zu Z, den Z ist ja ein Unterring davon! |
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| 13.03.2010, 15:25 | *ginger* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was ist denn der unterschied zwischen restklassenring und ring? weil beim restklassenring wäre es ja char(Zm)=m und beim ring kommt aber für char 0 raus ... ich versteh das noch nicht so -.- |
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| 13.03.2010, 20:10 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Restklassenring ist eben ein spezieller Ring. Man nennt ihn eben so weil er durch bilden von Restklassen entsteht. Ist aber genauso ein Ring wie die anderen. |
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| 14.03.2010, 11:19 | *ginger* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beispiel: Z5 Verknüfungstabelle: Ring + | 0 1 2 3 4 ---------------------------- 0 | 0 1 2 3 4 1 | 1 2 3 4 5 2 | 2 3 4 5 6 3 | 3 4 5 6 7 4 | 4 5 6 7 8 Verknüfungstabelle: Restklassenring + | 0 1 2 3 4 --------------------------- 0 | 0 1 2 3 4 1 | 1 2 3 4 0 2 | 2 3 4 0 1 3 | 3 4 0 1 2 4 | 4 0 1 2 3 hab ich das so richtig mit ring und restklassenring verstanden? |
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| 14.03.2010, 11:23 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Restklassenring ist doch ein Ring. Die zwei Tabellen, die du angegeben hast, sind identisch, denn es gilt z.B. . Du hast also die gleichen Vekrnüpfungen zwei mal angegeben, nur jeweils mit anderen Vertretern der Restklassen. |
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| 14.03.2010, 11:27 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
3 Anmerkungen: In einem Ring gibt es ZWEI Operationen (+, *). In Z5 gibt es keine Elemente 5, 6, 7, 8. Die Gegenüberstellung Ring <-> Restklassenring ist unsinnig, wie dir kiste schon erläutert hat. Edit: Wie jester darauf hinweist, sind 5, 6, 7, 8 allenfalls Repräsentanten von Klassen <5>, <6>, ... |
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| 14.03.2010, 13:53 | *ginger* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wäre dann (Z;+;.) unendlich? |
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| 14.03.2010, 14:16 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du meinst die Charakteristik? Ja. |
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| 14.03.2010, 15:48 | *ginger* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und die menge von (Z;+;.) wäre doch: Z={0;1;2;3;...;n-1} |
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| 14.03.2010, 15:56 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, Z (ohne Index) ist die Menge der ganzen Zahlen { ..., -2, -1, 0 ,1, 2, ... }. |
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| 14.03.2010, 16:37 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, Charakteristik unendlich gibt es nicht(oder ist zumindest sehr unüblich). Er hat Charakteristik 0 |
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| 14.03.2010, 16:39 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, das war ein (sogar leicht durchschaubares) Versehen. |
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| 14.03.2010, 18:17 | *ginger* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also bei Z ist die charakteristik deswegen 0, da man die 1 unendlich miteinander addieren kann und somit nie 0 rauskommt? |
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| 14.03.2010, 19:03 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, und das hat mit «logischer» Definition, selbst wenn es hier um Mathematik geht, nichts zu tun. (Unendlich ist keine natürliche Zahl, also nimmt man 0, weil die als Charakteristik sonst keine Chance hätte. Aber 0 ist ja auch keine natürliche Zahl.) |
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| 14.03.2010, 20:29 | *ginger* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok 
danke für eure beiträge!! 
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| 14.03.2010, 22:47 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, man kommt auch darauf, wenn man die Charakteristik für einen Integritätsring wie folgt definiert: Setzt man , dann ist ein Ringhomomorphismus und ein Primideal. Also gibt es entweder genau eine Primzahl mit oder . Dann definiert man die Charakteristik von als den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeugers des Kerns von . |
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