Grenzwert rekursive Folge

13.03.2010, 14:19

KeinPlanVonMathe

Grenzwert rekursive Folge

Eine Folge reeller Zahlen $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ sei rekursiv definiert durch:

$\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n+1 = \frac {(x_n^2)} {4} + 1 \end{eqnarray*}$

Zeigen sie, dass die Folge konvergiert und berechnen sie den Grenzwert.

Mein Ansatz:

Er wirkt mir recht unbeholfen, aber ich habe keine Idee, wie ich an so eine Folge rangehen soll.

Ich stelle nach etwas rumprobieren fest, dass die Folge niemals > 2 geht.

Ich zeige dann, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x_n \leq 2 \end{eqnarray*}$

Dazu zeige ich zunächst, dass die Folge, falls sie irgendwann mal 2 erreicht, also für ein $\begin{eqnarray*} x_n = 2 \end{eqnarray*}$ , immer konstant 2 für alle nachfolgenden Glieder bleibt.

Dann schließe ich den Fall aus, dass sie von einem beliebigen $\begin{eqnarray*} x_n < 2 \end{eqnarray*}$ auf ein $\begin{eqnarray*} x_n+1 > 2 \end{eqnarray*}$ wechselt, indem ich sage es gibt ein Folgenglied "a" < 2 , für das gelte:

$\begin{eqnarray*} \frac {a^2} {4} + 1 > 2 \end{eqnarray*}$

erhalte den Widerspruch, dass
$\begin{eqnarray*} a > \sqrt{7} \end{eqnarray*}$
also die Aussage, dass a eben nicht < 2 sein kann

Jetzt fehlt mir eben der Teil, in dem ich beweise, dass die Folge tatsächlich auch gegen 2 Konvergiert für n -> unendlich

13.03.2010, 14:21

KeinPlanVonMathe

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RE: Grenzwert rekursive Folge

Zitat:

Dann schließe ich den Fall aus, dass sie von einem beliebigen $\begin{eqnarray*} x_n < 2 \end{eqnarray*}$ auf ein $\begin{eqnarray*} x_n+1 > 2 \end{eqnarray*}$ wechselt,

Sorry, es soll heißen dass sie von keinem

$\begin{eqnarray*} x_n < 2 \end{eqnarray*}$ auf ein $\begin{eqnarray*} x_{n+1} > 2 \end{eqnarray*}$ springt.

13.03.2010, 15:40

gonnabphd

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Bis jetzt hast du gezeigt, dass die Folge nach oben beschränkt ist. Du musst noch zeigen, dass sie konvergiert. Weisst du, wann das sicher der Fall ist? (Dazu musst du übrigens noch nicht wissen was der Grenzwert dann auch tatsächlich sein wird)

Den Grenzwert herausfinden ist letztendlich ganz leicht, denn es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac {(x_n^2)} {4} + 1 = \frac {(\lim_{n \to \infty} x_n)^2} {4} + 1 \end{eqnarray*}$

Vorher muss man aber auch zeigen, dass die Folge überhaupt konvergiert!

13.03.2010, 17:05

KeinPlanVonMathe

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort !

Hm... es genügt zu zeigen, dass eine Folge sowohl beschränkt ist, als auch monoton steigend ist, um zu zeigen, dass sie konvergiert, richtig ?

Also, dass ein jedes $\begin{eqnarray*} x_n+1 > x_n \end{eqnarray*}$

Würde ich so machen:

$\begin{eqnarray*} \frac {[\frac {x^2} {4} + 1]^2} {4} + 1 \geq \frac {x^2} {4} + 1 \end{eqnarray*}$

nach ein paar Umformungen hab ich da stehen:

$\begin{eqnarray*} x^4 - 8x^2 + 16 > 0 \end{eqnarray*}$

Da würde ich jetzt zeigen, dass es für x=0 gilt, und dass das Polynom - als Funktion aufgefasst - keine reellen Nullstellen im Intervall [0,2] hat.

Na ja, wieder sehr unbeholfen, geht bestimmt auch einfacher, oder ?

Die allgemein Definition der Konvergenz (zu jedem Epsilon ein N...) kenne ich auch, aber ich wüsste nicht, wie sie mir hier weiter hilft.

13.03.2010, 17:18

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Die Monotonie kann man auch erheblich einfacher zeigen:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{x_n^2}{4} + 1 = x_n + \frac{(x_n-2)^2}{4} \geq x_n \end{eqnarray*}$ .

13.03.2010, 17:43

KeinPlanVonMathe

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Stimmt, danke für den Hinweis !

Ist damit (Beschränkt+Monoton), die Konvergenz gezeigt ?

13.03.2010, 17:45

Airblader

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Der Satz, dass aus Beschränktheit und Monotonie einer Folge ihre Konvergenz folgt, sollte in der Hochschulmathematik nun aber wirklich bekannt sein. Wozu hättest du sonst Beschränktheit gezeigt, wenn du nicht das von Anfang an vorhattest? Augenzwinkern

air

13.03.2010, 17:59

KeinPlanVonMathe

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Hatte ich ja, aber ich war mir nicht mehr sicher, ob es da nicht noch eine dritte Bedingung gibt. Finde es auch nicht auf anhieb im Skript (nur die Epsilon-N-Geschichte)

Gut, Beschränktheit+Monotonie sind gezeigt. Wie komme ich nun auf den Grenzwert ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac {(x_n^2)} {4} + 1 = \frac {(\lim_{n \to \infty} x_n)^2} {4} + 1 \end{eqnarray*}$

Bedeutet es, dass ich den limes als 2 "raten" soll, so dass die Gleichung aufgeht ?

13.03.2010, 18:02

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Zitat:

Original von KeinPlanVonMathe
Bedeutet es, dass ich den limes als 2 "raten" soll, so dass die Gleichung aufgeht ?

Mit "raten" hat das nichts zu tun:

rekursive Folge

13.03.2010, 18:28

KeinPlanVonMathe

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Danke für die Erläuterung !

Also unter einem Fixpunkt verstehe ich einen Wert, der auf sich selbst abgebildet werden kann.

f(x)=\frac {x^2} {4} + 1

In diesem Falle ist 2 ein solcher Fixpunkt, da f(2)=(2²/4)+1=2

Wäre aber wieder geraten, oder ?

13.03.2010, 18:30

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$\begin{eqnarray*} x = \frac{x^2}{4}+1 \end{eqnarray*}$ ist eine quadratische Gleichung. Deren Lösung muss man nicht erraten, sondern man lernt in der Schule, wie man sowas löst.

13.03.2010, 18:38

KeinPlanVonMathe

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Da stand ich wohl grad massiv auf dem Schlauch. Augenzwinkern

Kann man den von dir in dem anderen Thread angesprochenen Fixpunkt-Kriterium irgendwo nachlesen ? Steht bei uns leider nicht im Script.

13.03.2010, 18:48

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Man kann es z.B. selbst beweisen, ist kein Aufstand - maßgeblich ist die Stetigkeit der Rekursionsfunktion.

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