Fluss eines Vektorfelds

13.03.2010, 14:29

ebichu

Fluss eines Vektorfelds

Hallo zusammen.

Folgende Aufgabe:

[attach]13855[/attach]

Laut meinem Skript lauten die zugehörigen DGLs zum obigen Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} x'=1-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=x*y \end{eqnarray*}$

soweit sogut.
Die erste DGL ist ja unabhängig von y(t), also hab ich sie gelöst und folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{1}{tanh(t+c)},x>1 \end{eqnarray*}$

wenn ich nun diesen ausdruck in die 2. DGL einsetze, gibt das ein sehr kompliziertes Integral, welches nicht mal mein rechner lösen kann smile

also geh ich mal davon aus, dass ich irgendwas falsch mache.

hat jemand eine idee

vielen dank schonmal
glg ebi

14.03.2010, 08:19

WebFritzi

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Wie ist denn bei euch "der Fluss eines Vektorfeldes" definiert? Normalerweise braucht man noch eine Kurve, durch die der Fluss berechnet werden soll.

14.03.2010, 11:57

ebichu

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Hi WebFritzi

Ich zitiere mal aus meinem Skript:

Zitat:

Autonome Diffgleichung:
$\begin{eqnarray*} Y'(t)=F(Y(t)) , \forall t \end{eqnarray*}$
wobei
$\begin{eqnarray*} F: D \subset \mathbb R^n \Rightarrow \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ ein Lipschitzstetiges Vektorfeld sei.

Zugehöriger Fluss:
$\begin{eqnarray*} \varphi: G \subset \mathbb R \times D \Rightarrow D \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(t,x):= \gamma_x(t) \end{eqnarray*}$
wobei
$\begin{eqnarray*} G={(t,x)|x\in D,t\in (w^-(x),w^+(x))} \end{eqnarray*}$

bin nicht ganz sicher ob das hilft, aber so wie ich das Verstehe, ist der Fluss die Gesamtheit aller Lösungen zu jedem AWP. Man sollte also die Gebiete D und G bestimmen, in denen die Lösungen jeweil Definiert sind.

liebe grüsse
ebi

14.03.2010, 16:11

WebFritzi

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Was ist denn gamma?

14.03.2010, 17:01

ebichu

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gamma ist die Lösung für ein spezifisches AWP mit explizit vorgegeben Anfangsbedingungen.

phi ist die gesamtheit aller Lösungen.

so sehe ich das zumindest smile

14.03.2010, 17:19

WebFritzi

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Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} 1/\tanh(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \ln(\sinh(x)). \end{eqnarray*}$

Mit der Lösung für x in die zweite DGL eingesetzt ergibt sich eine lineare DGL.

14.03.2010, 17:31

ebichu

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hi

ok danke, sollte mir weiterhelfen. Ich werd das später mal versuchen smile

einen schönen abend noch
ebi

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