Ebene, Gerade, Schnittwinkel, Spiegelung

22.10.2006, 14:22	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene, Gerade, Schnittwinkel, Spiegelung Hey, ich habe mal wieder ne Aufgabe, bei der ich mir nich so ganz sicher bin... Gegeben sind die Geraden g und h durch $\begin{eqnarray} g:~~\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} ~~~~ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ~~~~h:~~\vec{x} =\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} ~~~~ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s,t\in \mathbb R ~~~~ \end{eqnarray}$ sowie der Punkt $\begin{eqnarray} P(-3\|5\|3) \end{eqnarray}$ Der Punkt P und die Gerade g legen eine Ebene E fest. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Hier hab ich $\begin{eqnarray} ~~E:~~2x_1+x_2+2x_3=5~~ \end{eqnarray}$ raus. Wie groß ist der Winkel, unter dem die Gerade h die Ebene E schneidet? Hier hab ich $\begin{eqnarray} ~~\alpha =45°~~ \end{eqnarray}$ raus. Die Geradeh wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Bildgeraden. Hier hab ich jetzt keine Ahnung, was ich machen soll. Ich habe den Schnittpunkt von E und h ausgerechnet, welcher ja der Aufpunkt der Bildgeraden ist/sein kann. Da hab ich $\begin{eqnarray} ~~F(-1\|1\|3)~~ \end{eqnarray}$ raus. Aber was ist jetzt der Richtungsvektor? Vielen Dank schon mal...
22.10.2006, 14:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Spiegle einfach einen zweiten (beliebigen) Punkt von h an E, dann kannst du (mit dem Aufpunkt) den Richtungsvektor erstellen! mY+
22.10.2006, 14:31	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
und spiegle den punkt am besten so: lege durch den zu spiegelnden punkt eine gerade, die die ebene orthogonal schneidet..du erhälts S bilde den vektor von deinem zu spiegelnden punkt zu S... danach gehst du einfach zwei mal diesen vektor von deinem zu spieglenden punkt aus...
22.10.2006, 14:53	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann die Gerade $\begin{eqnarray} h^:~~\vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stimmen? Habe als (beliebigen) Punkt der Geraden einfach den Aufpunkt genommen...
22.10.2006, 15:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab' was anderes, kann mich in der Eile aber auch verrechnet haben. Wie lautet zunächst der gespiegelte Punkt? Schreib einfach auch deine Zwischenergebnisse, somit kann man dies besser verfolgen. mY+
22.10.2006, 16:06	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab grad gemerkt, dass ich mich (auch) verrechnet hatte... $\begin{eqnarray} Q(-2\|2\|-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +e\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E:~~2x_1+x_2+2x_3=5 \end{eqnarray}$ 2(-2+2e)+(2+e)+2(-1+2e)=5 ... e=1 $\begin{eqnarray} \vec{s} =\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +1\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} ~~\Rightarrow ~~S(0\|3\|1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{QS} =\begin{pmatrix} 0+2 \\ 3-2 \\ 1+1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{z} =\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +2\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow Z(2\|4\|3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{FZ} =\begin{pmatrix} 2+1 \\ 4-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h^:~~ \vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} +n\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
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22.10.2006, 16:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So, jetzt stimmt's! Statt (3;3;0) ganz zum Schluss kannst du auch (als Richtungsvektor) den verkürzten (1;1;0) nehmen ... mY+
22.10.2006, 16:28	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke für die schnelle hilfe...

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