Integralrechnung - Anwendungsaufgabe

13.03.2010, 17:59

Ricky

Integralrechnung - Anwendungsaufgabe

Hallo zusammen,

ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem :

Berechne den Flächeninhalt des (roten) Streifens.

mit :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1000}*x³-\frac{3}{100}*x²+30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{3}{100}*x²-\frac{8}{5}*x+30 \end{eqnarray*}$

13.03.2010, 18:02

AlphaCentauri

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RE: Integralrechnung - Anwendungsaufgabe
Und was ist dein Problem?! Weißt du nicht, wie du das berechnen musst/sollst?!

13.03.2010, 18:07

Ricky

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RE: Integralrechnung - Anwendungsaufgabe
ich habe dann folgendes dazu berechnet, wobei ich mir nicht sicher bin,

ob es so richtig ist...:

$\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)=\frac{1}{1000}*x³-\frac{8}{5}*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \int^{15}_{10} (\frac{1}{1000}*x³-\frac{8}{5}*x) dx = [0,00025x^4-\frac{4}{5}x²] ^{15}_{10} = 244,84 FE \end{eqnarray*}$

könnte mir jemand von euch sagen, ob meine berechnung so richtig ist..?

danke schonmal im vorraus Mit Zunge

13.03.2010, 18:26

Ricky

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14.03.2010, 12:34

Ricky

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kann mir bitte jemand helfen...? Mit Zunge

14.03.2010, 12:55

Rechenschieber

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Ich habe mich gestern etwas mit dieser Aufgabe beschäftigt.
Wenn ich die Funktionen plotte, erhalte ich nicht die Abbildung, die du mitgegeben hast.
Mein Flächenstück sieht so aus:

LGR

14.03.2010, 13:26

Ricky

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Ok, vielen dank zunächst für deine Antwort. smile

Aber was ist denn dann an meiner Rechnung falsch... verwirrt

14.03.2010, 13:27

wisili

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RE: Integralrechnung - Anwendungsaufgabe

Zitat:

Original von Ricky
$\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)=\frac{1}{1000}*x³-\frac{8}{5}*x \end{eqnarray*}$

Es heisst +8/5 x . Rechenschiebers Ergebnis stimmt mit 3 Ziffern: 3525/32 = 110.15625

14.03.2010, 13:37

Ricky

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aber selbst wenn ich den vorzeichenfehler bedenke, bekomme ich nicht das richtige ergebnis heraus... verwirrt

14.03.2010, 13:49

Rechenschieber

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Man muss beachten, dass es auch noch ein kleines Flächenstück (0,11 FE) unterhalb der Abszisse gibt (4. Quadrant).
Ist leider sehr schwer zu erkennen.
LGR

14.03.2010, 13:56

Ricky

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ja ok, aber mein flächeninhalt weicht ja enorm von dem richtigen wert ab... verwirrt

14.03.2010, 14:10

wisili

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Rechne doch mal die Integration (mit korrigiertem Vorzeichen) vor.

$\begin{eqnarray*} [0.00025x^4+\frac{4}{5}x²] ^{15}_{10} = ... \end{eqnarray*}$

14.03.2010, 14:28

Rechenschieber

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Berechne doch einmal die Integrale einzeln.

Aus f(x) = 1/1000 x³ - 3/100 x² + 30 folgt 1/4000 x^4 - 1/100 x³ + 30 x
Jetzt Obergrenze (15) - Untergrenze (10)

Aus g(x) = -3/100 x² -8/5 x + 30 folgt - 1/100 x³ - 4/5 x² + 30x
Auch hier Obergrenze minus Untergrenze

Dann beide Ergebnisse voneinander abziehen.
Bei mir passt es.

LGR

14.03.2010, 16:42

Ricky

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also bei mir passt es immer noch nicht... verwirrt

hier mal meine ausührliche rechnung ... :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1000}*x³-\frac{3}{100}*x²+30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4000}*x^4-\frac{1}{100}*x³+30x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(f)= \int^{15}_{10} (\frac{1}{1000}*x³-\frac{3}{100}*x²+30) dx = [\frac{1}{4000}*x^4-\frac{1}{100}*x³+30x]^{15}_{10} = (\frac{1}{4000}*15^4-\frac{1}{100}*15³+30*15)-(\frac{1}{4000}*10^4-\frac{1}{100}*10³+30*10)=716\frac{13}{32} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{3}{100}*x²-\frac{8}{5}*x+30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(x)=-\frac{1}{100}*x³-\frac{4}{5}*x²+30x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(g)= \int^{15}_{10} (-\frac{3}{100}*x²-\frac{8}{5}*x+30) dx = [-\frac{1}{100}*x³-\frac{4}{5}*x²+30x]^{15}_{10} = (-\frac{1}{100}*15³-\frac{4}{5}*15²+30*15)-(-\frac{1}{100}*10³-\frac{4}{5}*10²+30*10)=466\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

und dann :

$\begin{eqnarray*} A(f)-A(g)=716\frac{13}{32}-466\frac{1}{4}=250\frac{5}{32} \end{eqnarray*}$

verwirrt

14.03.2010, 16:59

Ricky

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upps...ich habe gerade nochmal drüber gerechnet und nun andere werte
rausbekommen. ich denke es lag daran, dass ich alles auf einmal mit dem taschenrechner gerechnet habe. nun habe ich es schrittweise gemacht...

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1000}*x³-\frac{3}{100}*x²+30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4000}*x^4-\frac{1}{100}*x³+30x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(f)= \int^{15}_{10} (\frac{1}{1000}*x³-\frac{3}{100}*x²+30) dx = [\frac{1}{4000}*x^4-\frac{1}{100}*x³+30x]^{15}_{10} = (\frac{1}{4000}*15^4-\frac{1}{100}*15³+30*15)-(\frac{1}{4000}*10^4-\frac{1}{100}*10³+30*10)=136\frac{13}{32} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{3}{100}*x²-\frac{8}{5}*x+30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(x)=-\frac{1}{100}*x³-\frac{4}{5}*x²+30x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(g)= \int^{15}_{10} (-\frac{3}{100}*x²-\frac{8}{5}*x+30) dx = [-\frac{1}{100}*x³-\frac{4}{5}*x²+30x]^{15}_{10} = (-\frac{1}{100}*15³-\frac{4}{5}*15²+30*15)-(-\frac{1}{100}*10³-\frac{4}{5}*10²+30*10)=26\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

und dann :

$\begin{eqnarray*} A(f)-A(g)=136\frac{13}{32}-26\frac{1}{4}=110\frac{5}{32} \end{eqnarray*}$

14.03.2010, 17:02

wisili

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Edit: Ich war zu spät mit der Korrektur.

14.03.2010, 17:32

Ricky

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ok. dann wäre der erste aufgabenteil richtig. danke smile

nun gibt es noch einen zweiten aufgabenteil.

und zwar soll die fläche , die von den beiden funktionsgaphen eingeschlossen wird ein blechteil A darstellen. der rote bereich, dessen flächeninhalt wir ja im
ersten aufgabenteil berechnet habe, soll ein blechstreifen sein.

im zweiten aufgabenteil soll nun ein zweiter blechstreifen (Breite ebenfalls 5cm) aufgenietet werden und zwar so, dass sein flächeninhalt maximal ist. Nun soll man einen rechnerischen Ansatz ermitteln, mit dessen hilfe der abstand des zweiten blechstreifens von der linken kante (also der y-Achse) bestimmt werden kann. (dabei ist eine durchführung der extremwertuntersuchung nicht erforderlich.)

bei diesem zweiten aufgabenteil weiss ich nun noch nicht einmal einen ansatz.

daher hoffe ich, dass mir jemand von euch helfen kann... Mit Zunge

14.03.2010, 18:54

Rechenschieber

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Na siehst du, es geht doch. Zähle 5/32 (dezimal) zu 110 dazu, und du bekommst das richtige Ergebnis als Dezimalzahl.
Solche Aufgaben sind immer Konzentrationsarbeit.
Bleibt nur noch die Frage, warum deine Grafik von der anderen abweicht.

LGR

14.03.2010, 19:01

Ricky

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ja also die grafik stimmt nicht 100% mit den funktionsgraphen überein.

das liegt daran, dass ich die graik mit einem schlechten programm selbsr gezeichnet habe,

14.03.2010, 20:52

Ricky

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kann mir denn nun jemand auch beim zweiten aufgabenteil helfen...??? smile

14.03.2010, 21:42

Ricky

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also hier nochmal der zweite aufgabenteil :

14.03.2010, 23:06

wisili

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Die erste Aufgabe liess einen Flächeninhalt bestimmen: $\begin{eqnarray*} A = \int^{15}_{10}\left(\frac{1}{1000} x³+\frac{8}{5} x\right) dx = \left[\frac{1}{4000} x^4+\frac{4}{5} x^2\right]^{15}_{10} = ... \end{eqnarray*}$

Die zweite Aufgabe verlangt zunächst dasselbe mit variablen Grenzen, um anschliessend das Maximum von A(a) zu verlangen: $\begin{eqnarray*} A(a) = \int^{a+5}_{a}\left(\frac{1}{1000} x³+\frac{8}{5} x\right) dx = \left[\frac{1}{4000} x^4+\frac{4}{5} x^2\right]^{a+5}_{a} = \end{eqnarray*}$ ... (Term von a) ...

Edit: Die falsche Graphik hier suggeriert eine Lösung im I. Quadranten. Gemäss Graphik von Rechenschieber existiert aber gar kein Maximum.

15.03.2010, 11:21

Ricky

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anhand der grafik von Rechenschieber ist mir auch aufgefallen, dass meine grafik falsch ist...aber die grafik, die ich hier hochgeladen habe war bei der Aufgabenstellung dabei... verwirrt

Naja, zunächst vielen lieben dank für den ansatz zum aufgabenteil b).
Aber wenn ich ehrlich bin, kann ich bisher nicht so viel damit anfangen... verwirrt

15.03.2010, 12:10

wisili

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1.
Hast du die Funktionsgleichungen mal überprüft: Lauten die wirklich genau wie angegeben?
Wenn du das bestätigen kannst, dann lass die Aufgabe ruhen. Dann ist sie verunglückt, was der Aufgabensteller zu verantworten hat.
2.
Wenn aber die mit der Aufgabe gelieferte Graphik richtig wäre, verstehe ich die (nicht sehr suggestiv formulierte) Aufgabe so, dass man den roten Streifen nach links oder rechts verschieben soll, bis die zwischen den Graphen eingeklemmte rote Fläche maximal gross wird. (Es ist ja augenfällig, dass der Streifen Flächeninhalt verliert, wenn man ihn in die Nähe der Graphenschnittpunkte, links oder rechts, bringt.)
Statt der alten Grenzen 10 und 15 hätte man neue Grenzen a und (a+5). Die Aufgabe bestünde nun darin, a zu bestimmen, damit die Fläche maximal ist.
3.
Die etwas merkwürdige Formulierung am Schluss der Aufgabe könnte bedeuten, dass man den Streifen nur in der Graphik, von Hand, geschätzt, einzeichnen soll; nichts rechnen. (Hilfe zum Zeichnen: Man könnte beweisen, dass bei maximaler Streifenfläche die beiden vertikalen Randstrecken exakt gleichlang sind.)

15.03.2010, 16:17

Ricky

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die funktionsgraphen, sowie die grafik sind so in der aufgabenstellung abgebildet...wie nun der aufgabenteil b) zu lösen ist habe ich immer noch nicht
begriffen... verwirrt

17.03.2010, 18:24

Rechenschieber

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Es stimmt mich traurig, dass nichts von dem Gesagten bei dir hängen geblieben sein soll.
Ungeachtet dessen, ob eine Grafik stimmt, ist das Prinzip der Integralrechnung doch sehr einfach.
Flächenberechnung und/oder Umkehrung der Differentialrechnung.

Das bestimmte Integral ist das Flächenstück in einem bestimmten Intervall unter der Kurve.

Für jede Funktion kannst du die Fläche separat ermitteln.

Gehst du schrittweise vor, das heißt, du zeichnest (plottest) deine Funktion, setzt die Grenzen fest, ermittelst die Fläche unter der Kurve und behandelst die nächste Funktion ebenso, dann erkennst du auch von allein den Hintergrund.

Es gibt doch nur zwei Möglichkeiten:

Entweder stimmen die vorgegebenen Funktionen nicht, oder die Grafik.
Leider sind aber aus der Grafik keine Werte abzulesen, so dass du auf die Funktionen zum Berechnen angewiesen bist.

Und da hast du schon alles von uns gegeben, was du brauchst.

LGR

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