lösen...

22.10.2006, 14:39

zwoggel4711

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lösen...

aufgabe:

für welche natürlichen zahlen n hat die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{10 + \sqrt {x}}- \sqrt{10 - \sqrt {x}}= n \end{eqnarray*}$

Lösungen x, die auch natürlich sind. gib alle möglichen Werte n und die dazugehörigen Lösungen x an.

hier hab ich nicht mal im ansatz ne idee verwirrt

verwirrt

22.10.2006, 14:53

zt

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Naja, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ muss eine Quadratzahl sein und $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ kann maximal $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ sein, womit $\begin{eqnarray*} x_{max}=100 \end{eqnarray*}$ .

Die 10 Möglichkeiten kannst'de ja per Hand durchtesten.

Edit: Es gibt nur 2 Quadratzahlen zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ , womit sich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nur auf zwei mögl. (1 richtige) Lösungen beschränkt.

Edit: Oder ich hab' dich falsch verstanden. Sorry. Hammer

Hammer

22.10.2006, 15:01

Lucahe

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@Zahlentheorie: x muss keine Quadratzahl sein (z. B. x=96 und n = 4)

@zwoggel4711: Ein Ansatz wäre diese Gleichung erstmal nach x aufzulösen.

22.10.2006, 18:36

zwoggel4711

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wenn ich nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflöse komm ich auf

$\begin{eqnarray*} x = n^2 \end{eqnarray*}$

aber was sagt mir das ? bzw. is das überhaupt korrekt? die 3. bin. formel is das ja nicht???

22.10.2006, 19:23

zt

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$\begin{eqnarray*} x=n^2 \end{eqnarray*}$ kann eigtl. garnicht, sein.. dann wäre $\begin{eqnarray*} (n,x) ,(9,3) \end{eqnarray*}$ ja auch 'ne Lösung der obigen Gl.

22.10.2006, 19:35

Lucahe

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Du könntest ja mal deine Zwischenschritte posten.

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22.10.2006, 19:49

mYthos

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Zitat:

Original von zwoggel4711
wenn ich nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflöse komm ich auf

$\begin{eqnarray*} x = n^2 \end{eqnarray*}$

aber was sagt mir das ? bzw. is das überhaupt korrekt? die 3. bin. formel is das ja nicht???

$\begin{eqnarray*} x = n^2 \end{eqnarray*}$ ist definitiv nicht richtig, setze mal für n = 1 ein ...

Die Auflösung der Gleichung nach x gelingt leichter, wenn du $\begin{eqnarray*} \sqrt(x) = z \end{eqnarray*}$ setzst.

Die Wurzelgleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{10 + z} - \sqrt{10 - z} = n \end{eqnarray*}$ umformen zu

$\begin{eqnarray*} 10 + z = n^2 + 2n \sqrt{10 - z} + 10 - z \end{eqnarray*}$

reduzieren, Wurzel isolieren, nochmals quadrieren, nach $\begin{eqnarray*} z^2 = x \end{eqnarray*}$ lösen genügt!

mY+

22.10.2006, 20:08

zwoggel4711

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was meinst du mit reduzieren ???

22.10.2006, 20:23

mYthos

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na, die 10 fallen doch auf beiden Seiten weg ....

22.10.2006, 20:32

zwoggel4711

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ok

$\begin{eqnarray*} \sqrt{10-7} = \frac{-n^2+2z}{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 = \frac{n^4+2z^2}{2n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6n^2 = n^4 + 2z^2 \end{eqnarray*}$

??? traurig

traurig

22.10.2006, 21:21

mYthos

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Wie kommst du denn auf das??
Das kann ich leider nicht nachvollziehen!

einfach weiter:
...

$\begin{eqnarray*} 2z = n^2 + 2n \sqrt{10 - z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2z - n^2 = 2n \sqrt{10 - z} \end{eqnarray*}$

jetzt auf beiden Seiten quadrieren ...
[Tipp: $\begin{eqnarray*} 4n^2z \end{eqnarray*}$ fallen beidseits weg ...]

$\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ direkt berechenbar (und das ist x)

22.10.2006, 21:34

zwoggel4711

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$\begin{eqnarray*} 2z-n^2 = 2n \sqrt {10-z} \end{eqnarray*}$

dies quadr. $\begin{eqnarray*} (2z-n^2)^2 = 4n^2(10-z) \end{eqnarray*}$
links is ja bin.F. $\begin{eqnarray*} 2z^2-4n^2z+n^4 = 40n^2-4n^2z \end{eqnarray*}$
reduzieren: $\begin{eqnarray*} 2z^2 = 40n^2-n^4 \end{eqnarray*}$

so jetzt steh ich schon wieder auffem schlauch ?? tut mir leid wenn ich nerve aber mathe is echt nicht mein ding

22.10.2006, 21:39

mYthos

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Zitat:

Original von zwoggel4711
$\begin{eqnarray*} 2z-n^2 = 2n \sqrt {10-z} \end{eqnarray*}$

dies quadr. $\begin{eqnarray*} (2z-n^2)^2 = 4n^2(10-z) \end{eqnarray*}$
links is ja bin.F. $\begin{eqnarray*} 2z^2-4n^2z+n^4 = 40n^2-4n^2z \end{eqnarray*}$
reduzieren: $\begin{eqnarray*} 2z^2 = 40n^2-n^4 \end{eqnarray*}$

so jetzt steh ich schon wieder auffem schlauch ?? tut mir leid wenn ich nerve aber mathe is echt nicht mein ding

Dein Fehler beim Quadrieren, es muss ja sein

$\begin{eqnarray*} 4z^2-4n^2z+n^4 = 40n^2-4n^2z \end{eqnarray*}$

daher

$\begin{eqnarray*} 4z^2 = 40n^2-n^4 \end{eqnarray*}$

jetzt bist ja (fast) schon fertig! Rechts $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern und die Gleichung noch durch 4 dividieren.

Mit dem Ergebnis kannst du dann die möglichen Werte von n gut abschätzen (z.B. kann n nicht größer als 6 sein ...)

mY+

22.10.2006, 21:57

zwoggel4711

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$\begin{eqnarray*} 4z^2 = n^2(40-n^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2 = \frac{n^2(40-n^2)}{4} \end{eqnarray*}$

bringt denn das ausklammern was ? und wie kann ich aus diesem term denn nun ablesen, das n nicht größer als 6 sein darf ???

22.10.2006, 22:13

mYthos

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$\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ ist ja immer positiv, somit kann die Klammer keinen negativen Wert annehmen! Ausserdem kann - wegen z ist ganzzahlig - die natürliche Zahl n nur gerade sein .., viele Möglichkeiten bleiben also nicht mehr (genau genommen nur drei).

mY+

22.10.2006, 22:25

zwoggel4711

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wenn ich dich richtig verstanden habe, dürften als lösung

2, 4 und 6 in frage kommen, da diese als einzige die von dir genannten bedingungen erfüllen

22.10.2006, 22:58

mYthos

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So ist es!

n = 2; x = ..
n = 4; x = ..
n = 6; x = ..

Kannst du die zugehörigen x jetzt berechnen?

mY+

23.10.2006, 00:27

zwoggel4711

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jo, denk schon:

einfach jetzt 2,4,6 für n einsetzen, somit:

n=2; x=36
n=4; x=96
n=6; x=36

danke für die hilfe Prost

Prost

und vermutlich bis nächsten sonntag Wink

Wink

23.10.2006, 00:39

mYthos

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Alles klar jetzt, endlich Big Laugh

Big Laugh

mY+

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