Kompaktheit

13.03.2010, 21:09

RobertLee

Kompaktheit

Es seien I ein kompaktes, perfektes Intervall, f Element von C(I x I, IR) und
$\begin{eqnarray*} g: I \rightarrow \mathbb R, x \rightarrow \int_I \! f(x,y) \, dy \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist, dass g in C(I, IR) ist.

Mein Lösungsvorschlag wäre dieser:
Sei I kompakt (was ja gegeben ist) Teilmenge von X (ein Vektorraum) --> I ist auch beschränkt.
Es gibt doch sogar einen Satz, der so lautet, nur weiss ich leider nicht (mehr), wie der heisst.
Könnte mir das jemand verraten und sagen, ob man diesen als Beweis meines Problems verwenden kann?

Herzlichen Dank und einen schönen Abend!

14.03.2010, 07:48

WebFritzi

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Hä? Was machst du da? Natürlich ist ein kompaktes Intervall beschränkt. Da braucht man auch keinen Satz für. Was "perfekt" hier heißen soll, verstehe ich allerdings nicht...

Egal. Wie wäre es, wenn du dich mal mit dem Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit an die Aufgabe machen würdest?

14.03.2010, 13:49

RobertLee

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Gut.
Das Epsilon-Delta-Kriterium sagt folgendes aus:
Eine Funktion f ist an der Stelle x genau dann stetig, wenn gilt, dass zu jeder Zahl Epsilon>0 eine Zahl Delta>0 existiert, so dass aus |x-y|<Delta auch |f(x)-f(y)|<Epsilon folgt.
Anders ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 |x-y| < \delta \rightarrow |f(x) - f(y) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Man kann also zu jeder noch so kleinen Umgebung U_{f(x)} um den Funktionswert f(x) eine kleine Umgebung U_x um den x-Wert finden kann, so dass diese Umgebung U_x komplett in die Umgebung U_{f(x)} abgebildet wird.

Unsere Funktion ist also stetig.

Zu dem Satz, nach dem ich fragte: Ich dachte an den Heine-Borel Satz, der besagt, dass eine Teilmenge M von K^m genau dann kompakt ist, falls sie beschränkt und abgeschlossen ist. (was ja hier gegeben wäre)
..diesen Satz könnte man also nicht verwenden?

14.03.2010, 14:09

giles

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Zitat:

Original von RobertLee
Gut.
Das Epsilon-Delta-Kriterium sagt folgendes aus:
Eine Funktion f ist an der Stelle x genau dann stetig, wenn gilt, dass zu jeder Zahl Epsilon>0 eine Zahl Delta>0 existiert, so dass aus |x-y|<Delta auch |f(x)-f(y)|<Epsilon folgt.
Anders ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 |x-y| < \delta \rightarrow |f(x) - f(y) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Man kann also zu jeder noch so kleinen Umgebung U_{f(x)} um den Funktionswert f(x) eine kleine Umgebung U_x um den x-Wert finden kann, so dass diese Umgebung U_x komplett in die Umgebung U_{f(x)} abgebildet wird.

Unsere Funktion ist also stetig.

Aha, was hast du jetzt also "bewiesen"? Du hast nur eine Definition genannt und eine Voraussetzung (f stetig).
Was du tun sollst ist dass du für die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , die eine Zahl auf das Integral der stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wie angegeben abbildet, Stetigkeit nachweisen sollst.
Wird Zeit, dass du die Aufgabe machst und diese Aussage beweist. Dazu brauchst du höchstwahrscheinlich den Satz von Heine.

Zitat:

Zu dem Satz, nach dem ich fragte: Ich dachte an den Heine-Borel Satz, der besagt, dass eine Teilmenge M von K^m genau dann kompakt ist, falls sie beschränkt und abgeschlossen ist. (was ja hier gegeben wäre)
..diesen Satz könnte man also nicht verwenden?

Kompakte Mengen sind in metrischen Räumen immer abgeschlossen und beschränkt. Andersherum gilt nur in bestimmten Räumen wie dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .
Das hat allerdings garnichts mit deiner Aufgabe zu tun, also verstehe ich nicht so wirklich, warum die so auf diese Frage bestehst.

14.03.2010, 15:13

RobertLee

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Zu einem beliebigen Epsilon > 0 existiert ein Delta = Delta(Epsilon) > 0 derart, dass für zwei beliebige Stellen x und y aus dem Intervall I mit |y-x| < Delta gilt:

|f(y) - f(x)| < Epsilon.

Der Beweis würde ich dann durch Widerspruch machen.
Nur, damit ich mich nicht "umsonst" abrackere: Das ist das, was zu zeigen ist, oder?

14.03.2010, 15:23

giles

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Zitat:

Original von RobertLee
Nur, damit ich mich nicht "umsonst" abrackere: Das ist das, was zu zeigen ist, oder?

Ich weiß nicht, fragen wir doch mal RobertLee:

Zitat:

Original von RobertLee
Zu zeigen ist, dass g in C(I, IR) ist.

$\begin{eqnarray*} g\in \mathcal{C}(I,\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$
Es soll also die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nachgewiesen werden. Das hatte dir aber schon ein gewisser giles noch einmal gesagt:

Zitat:

Was du tun sollst ist dass du für die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , die eine Zahl auf das Integral der stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wie angegeben abbildet, Stetigkeit nachweisen sollst.

Wie kommst du jetzt also dazu, die gleichmäßige stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nachweisen zu wollen, die schon trivial als dem Satz von Heine folgt?

14.03.2010, 15:38

RobertLee

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Mein Problem ist, dass ich nicht weiss, wie ich zeigen soll, dass die Funktion g, die ein Integral beinhaltet, stetig ist.
Sprich das Integral ist das eigentliche Problem..

14.03.2010, 16:04

giles

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Geh einen nützlichen Umweg. Zeige:

$\begin{eqnarray*} I_1, I_2 \end{eqnarray*}$ kompakt, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig, $\begin{eqnarray*} f:I_1 \times I_2 \to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto f(x,y) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (y_k)_{k\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_k \in I_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lim y_k =: c \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \forall x\in I_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F_k:I_1 \to \mathbb{R}, F_k(x):= f(x,y_k) \end{eqnarray*}$

konvergieren gleichmäßig gegen

$\begin{eqnarray*} F:I_1 \to \mathbb{R}, F(x):=f(x,c) \end{eqnarray*}$

Benutze zum Beweis:
1. Kompaktheit der Menge der Folgenglieder
2. Satz von Heine

Danach folgt die Stetigkeit von g trivial als Korollar wegen der Vertauschbarkeit von limes und Integration bei gleichmäßiger Konvergenz.

14.03.2010, 16:32

WebFritzi

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@giles: Das ist doch viel zu kompliziert. f ist stetig auf einem Kompaktum, also gleichmäßig stetig. Es gibt also zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0, \end{eqnarray*}$ so dass für alle $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1)\in I_1\times I_2 \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} (x_2,y_2)\in I_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |(x_1,y_1) - (x_2,y_2)| < \delta \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x_1,y_1) - f(x_2,y_2)| < \varepsilon. \end{eqnarray*}$

Der Beweis der Behauptung ist nun mit dem Epsilon-Delta-Kriterium ein Kinderspiel.

14.03.2010, 16:38

giles

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Ist unterm Strich das gleiche.

14.03.2010, 16:43

WebFritzi

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Du schreibst es aber viel zu kompliziert auf. Offenbar ist der arme RobertLee ein wenig überfordert. Denkst du, so versteht er besser? Augenzwinkern

14.03.2010, 16:48

giles

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Hast ja Recht... smile

@RobertLee
Mach es mal wie WebFritzi es gesagt hat, wenn du dann Spaß dran hast kannst du die gleichmäßige Konvergenz zeigen; ist eine stärkere Aussage, also vllt. etwas mehr als verlangt.

14.03.2010, 17:35

RobertLee

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Herzlichen Dank Euch beiden!
Hat alles geklappt, jetzt am Schluss auch giles' "Umweg" smile

14.03.2010, 17:39

WebFritzi

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Dann poste bitte deine Lösung. Damit andere später auch was davon haben.

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