Jordan-Zerlegung: Prinzipfrage Berechnung Q

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pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan-Zerlegung: Prinzipfrage Berechnung Q
Hallo liebes Forum

Gemäss diesem Beispiel kann Q aus Eigenvektoren und Hauptvektoren wie dort gezeigt sowie die Inverse davon berechnet werden. Mit der Matrizengleichung erhält man dann die Jordanform der Matrix.


Frage: Spielt die Reihenfolge der Eigenvektoren, die man in die Spalte einsetzt, eine Rolle?

Ist auch eine Jordanform der Art



mit



eine richtige Lösung für die dort aufgelistete Matrix



?


Falls die Reihenfolge der Spalten eine Rolle spielt, nach welchem Kriterium "füllt" man die jeweilige Spalte von ?? (Anders ausgedrückt: In welche Spalten Eigenvektoren, in welche die Hauptvektoren?)

Ich wünsche euch gute Nacht smile
Grüsse
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Naja das vertauschen der Reihenfolge sorgt halt dafür dass die 1en unter der Hauptdiagonale sind. Was man jetzt als JNF bezeichnet ist Definitionssache. Habe beides schon gesehen.
Damit sie oben ist: Zuerst EV, dann Hauptvektor Stufe 1,dann Stufe 2,...
 
 
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Naja das vertauschen der Reihenfolge sorgt halt dafür dass die 1en unter der Hauptdiagonale sind. Was man jetzt als JNF bezeichnet ist Definitionssache. Habe beides schon gesehen.
Damit sie oben ist: Zuerst EV, dann Hauptvektor Stufe 1,dann Stufe 2,...
Okay, danke habs begriffen.

Zitat:
wikipedia
Die Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmals.

Also doch nicht. Ich habe folgende Aufgabe:

Finde Jordanform von:


Eigenwert=1, algebr. Mult. = 3 , Eigenvektor dazu:



Bis dahin stimmts sicher. Da der einzige Hauptvektor 1.Stufe ist, berechne ich einen Hauptvektor 2.Stufe:



Nun folgt: Hauptvektor 2.Stufe:





Hauptvektor 3.Stufe:


(beispielsweise)

Somit setze ich in Q ein:



Nun berechne ich

Alles mit dem Computer gut 3mal überprüft.

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, was da jetzt falsch ist?
Grüsse
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Wahl von ist die Transformationsmatrix festgelegt als . So wird es auch im Wikipedia-Artikel erklärt, falls du das noch mal nachlesen möchtest.

Ach ja, möglich ist natürlich auch die Wahl , je nach dem, ob man oder als JNF festlegt.

Edit: Das ist hier im Übrigen eine einfache Konstellation. Hat man mehrere Jordanblöcke (nicht unbedingt) verschiedener Größe zu einem Eigenwert, so muss man beim Gestalten der Transformationsmatrix noch auf lineare Abhängigkeiten in den Haupträumen achten, wenn man die Vektoren größter Länge unter abbildet.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommt man aber von diesen 2 Bildern:

http://upload.wikimedia.org/math/0/2/b/02b5925c1e71fd2bef29831a1fab1434.png
und http://upload.wikimedia.org/math/1/4/b/14b8e7cfec72a04e3776d623e05024bb.png

direkt auf die JNF? Derjenige, der das Beispiel geschrieben hat, scheint das einfach so abzulesen. Wie macht der das? Ich verstehe: Einziger Eigenwert=3, algebr. Multiplizität = 5, geom. Multiplizität=3
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste Bild liefert dir die Anzahl der Eigenvektoren, so weit so klar.

Aus dem zweiten Bild folgt dann, dass es zwei Jordanblöcke der Größe 2 gibt, da noch zwei Hauptvektoren der Länge zwei "hinzugekommen" sind.

Also hat man sofort: zwei Jordanblöcke der Größe 2, einer der Größe 1 (also ein einfacher Diagonaleintrag), womit man sofort auch einen dreidimensionalen Eigenraum hat (vgl. wiederrum erstes Bild).

Edit: Jetzt hast du einfach alles wegeditiert und meine Antwort ist völlig zusammenhanglos... unglücklich
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Edit: Jetzt hast du einfach alles wegeditiert und meine Antwort ist völlig zusammenhanglos... unglücklich
Jetzt nicht mehr Lehrer

Trotzdem noch eine Frage:


Wenn ich bspweise einen Hauptvektor nehme
anstatt einen Hauptvektor

, wobei mir der zweite Matlab als "Musterlösung" vorgibt, kriege ich teilweise positive/negative 1en in der Diagonale-1 wie folgend. Ich kriege bspweise

meine Lösung der JNF:




anstatt der von Matlab vorgegebenen Lösung




Ist dann "meine Lösung" auch richtig, sprich, kann ich dann einfach den Betrag von meiner (-1) nehmen = 1, da die JNF so definiert ist? Oder scheint dann mein Q falsch zu sein?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist deine JNF falsch. Präsentiere hier doch mal die gesamte Aufgabe, d.h. die Ausgangsmatrix und deine Transformationsmatrix / -matrizen.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss, was ein Hauptraum ist und ein Hauptvektor.

--------------------------------
Aufgabe:

ist eine Matrix über . Berechne Transformationsmatrix und die Jordansche Normalform.

Ich habe Eigenwert mit Eigenvektor



und doppelter Eigenwert mit Eigenvektor

Algebr. Multiplizität von 1 ist 2, geom. Mult. davon aber ist 1. Also brauche ich noch einen Hauptvektor... hmmm.

Gut. Also was für eine Gleichung muss ich jetzt gleich welchem Eigenvektor / Hauptvektor aufstellen und vor allem: Warum?

Grüsse&danke für eure Geduld.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun also das oben gepostete. Laut diversen Beispielen im Internet brauche ich nun noch einen Hauptvektor zu . Diesen bekomme ich mit der Gleichung:

Eigenvektor zu

Ist doch soweit richtig, oder?

Jetzt bekomme ich die 2 Gleichungen:
sowie

Nun gut, die Lösung ist , aber wie komme ich darauf?

Einfach durch ausprobieren? Wie macht ihr das? Ihr setzt einfach mal und probiert dann rum? Wenns nicht geht, nehmt ihr ?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja jetzt schon (d.h. der Eigenraum von A zum Eigenwert 1 ist erzeugt von diesem Vektor - ich benutze einfach mal die mir geläufige Schreibweise).

Was du nun noch brauchst, da die algebraische Vielfachheit ja zwei ist, ist ein Hauptvektor. Diesen findest du in .

Das geht natürlich über diese Gleichung. Oder aber dadurch, dass du in der Tat diesen Kern berechnest und dann einen Vektor auswählst, der nicht Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist.

Die Lösung ist also bei weitem nicht eindeutig. Du hast ja hier dann einen zweidimensionalen Vektorraum, aus dem ein eindimensionaler Vektorraum herausgenommen wird. Stelle dir das vor wie eine Ebene, aus der eine einzige Gerade herausfällt - du siehst, dass auf keinen Fall der einzige passende Vektor sein kann.

Zitat:
Gut. Also was für eine Gleichung muss ich jetzt gleich welchem Eigenvektor / Hauptvektor aufstellen und vor allem: Warum?


Wenn du hier mit "Warum?" nach einer Herleitung der JNF und dieses Algorithmus' zur Basisbestimmung fragst, dann würde das wohl hier den Rahmen sprengen. Dafür musst du ein Skript oder Buch bzw. das Internet konsultieren.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, hab das soweit mal begriffen. Probleme habe ich aber noch hier. Jetzt mal ein anderes Beispiel:

Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen:



Da komm ich dann auf



Dann stell ich die 2. Gleichung auf:

(Beispielsweise)

Das ist aber falsch. Wie findet man hier den richtigen Eigenvektor von Hand?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor du dich mit der Jordan-Normalform auseinandersetzt, solltest du in der Lage sein, lineare Gleichungssysteme zu lösen - das ist schließlich eines der elementarsten Werkzeuge der linearen Algebra. Im Speziellen ist hier der Gauß-Algorithmus das Vorgehen, das dich zur Lösung bringt.

Obrendrein solltest du dir klarmachen, dass auch hier keine eindeutige Lösung vorliegt, da der Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems stets ein Vektorraum ist; d.h. falls ein unterbestimmtes Gleichungssystem vorliegt (wie hier - die erste und zweite Zeile sind Vielfache voneinander), hat das LGS einen nichttrivialen Lösungsraum und es gibt somit (über unendlichen Körpern) unenedlich viele Lösungen.

Langer Rede kurzer Sinn: Du solltest dringend deine Grundlagen in der linearen Algebra aufpolieren, der Gauß-Algorithmus (und der alleine hilft auf die Dauer auch nicht) ist wichtig und muss sitzen.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe, habs jetzt lösen können, das GLSystem.

Ja, ich kenne das Gauss-eliminationsverfahren.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Jester. Nochmals zu diesem Beitrag:
Zitat:
Original von jester.
Das erste Bild liefert dir die Anzahl der Eigenvektoren, so weit so klar.
Genau, soweit, so klar. Mehr aber dann leider auch nicht.
Zitat:
Aus dem zweiten Bild folgt dann, dass es zwei Jordanblöcke der Größe 2 gibt, da noch zwei Hauptvektoren der Länge zwei "hinzugekommen" sind.
Ein Vektor der Länge 2 ist sowas hier (?): weil

Also ab hier verstehe ich dann nichts mehr.

Wie schon im meinem Frage-Beitrag erwähnt: Ich weiss, was Hauptvektoren sind, was die algebraische und die geometrische Multiplizität ist. Der liest das doch aus den jeweiligen Multiplizitäten raus, oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ich weiß nicht ob die "Länge" eine allgemein bekannte Sprechweise ist. Das ein Vektor die Länge zwei hat heißt in diesem Zusammenhang, dass er in liegt, d.h. man muss ihn zweimal unter abbilden, damit er auf den Nullvektor geht. Ich sehe gerade du nanntest das in einem früheren Beitrag Hauptvektor 2. Stufe.
Leo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pablosen

Nun gut, die Lösung ist , aber wie komme ich darauf?



Ich haette noch eine Frage zu dem Beitrag, in welchem du einen zusaetzlichen Hauptvektor berechnest.
Angenommen, dein neuer Hauptvektor heisst

Berechnest du dein Q dann so? :


Lieber Gruss und einen schoenen Nachmittag!
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leo20
Zitat:
Original von pablosen

Nun gut, die Lösung ist , aber wie komme ich darauf?



Ich haette noch eine Frage zu dem Beitrag, in welchem du einen zusaetzlichen Hauptvektor berechnest.
Angenommen, dein neuer Hauptvektor heisst

Berechnest du dein Q dann so? :


Lieber Gruss und einen schoenen Nachmittag!
Ja ich habs so gemacht. Je nachdem, welche JNF (1en unten oder oben) kann man auch nehmen
Leo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Oke.
Du hast gesagt, du hättest es auch so. Hast du die 1'en unten oder oben? Augenzwinkern
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Jester
Zitat:
Original von jester.
Das erste Bild liefert dir die Anzahl der Eigenvektoren, so weit so klar.
Ja, soweit ist das klar.
Zitat:
Aus dem zweiten Bild folgt dann, dass es zwei Jordanblöcke der Größe 2 gibt, da noch zwei Hauptvektoren der Länge zwei "hinzugekommen" sind.
Dim(Eigenraum) = 3, Dim(Hauptraum) = 5.

3 Eigenvektoren = 3 Jordan-Kästchen
Nilpotenzindex (A-2E) = 2 > grösster Jordan-Block = 2x2
2 Hauptvektoren kommen also "dazu" = Anzahl der grössten Jordan-Kästchen = 2

Ist das so korrekt?

Wobei ich ehrlich gesagt den Unterschied zwischen Kästchen und Block nicht ganz sehe, wird wohl einfach eine andere Notation für das Gleiche sein.

Grüsse
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist soweit korrekt. Und Kästchen und Blöcke - wo soll da schon der Unterschied liegen? Namen sind so wie so nur Schall und Rauch. Augenzwinkern
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Ja, das ist soweit korrekt. Und Kästchen und Blöcke - wo soll da schon der Unterschied liegen? Namen sind so wie so nur Schall und Rauch. Augenzwinkern
Danke dir vielmals. Ich habs nun endlich gecheckt.
Grüsse&einen schönen Tag.
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