Sobolevraum

14.03.2010, 00:26

Manuel20

Sobolevraum

Guten Abend allerseits.

Ich befasse mich momentan gerade mit folgender Aufgabe:

[attach]13871[/attach]

..und komme nicht richtig vorwärts.

Ich habe gedacht, beim Hinweis zu beginnen.
Falls ich richtig recherchiert habe, sollte bei der Funktion auf der rechten Seite statt ein " + " ein " - " Zeichen stehen. (könnte das evtl jemand verifizieren?)
Also, ich habe gedacht, dass man das Integral gegen oben "passend" anpassen sollte mit einem geeigneten x_0.
Leider bin ich aber weder sicher, ob das eine sinnvolle Idee ist, noch wüsste ich dann, wie vorzugehen wäre...

Deshalb wäre ich um jede Hilfe sehr dankbar! smile

Liebe Grüsse und einen schönen Abend!

14.03.2010, 01:02

Sly

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RE: Sobolevraum

Zitat:

Original von Manuel20 Ich habe gedacht, beim Hinweis zu beginnen.
Falls ich richtig recherchiert habe, sollte bei der Funktion auf der rechten Seite statt ein " + " ein " - " Zeichen stehen. (könnte das evtl jemand verifizieren?)

Ja das ist richtig...ist einfach Fundamentalsatz der Integralrechnung.

Sofern du das eingesehen hast, benutze die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2xy \leq x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ für alle reellen Zahlen x,y. (Solltest du dann entsprechend beweisen, ist aber leicht).

Mithilfe dieser Ungleichung solltest du das ganze schon gut abschätzen können...

14.03.2010, 06:33

WebFritzi

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RE: Sobolevraum

Zitat:

Original von Sly

Zitat:

Ja das ist richtig...ist einfach Fundamentalsatz der Integralrechnung.

Ich denke, wichtiger zu erwähnen ist hier, dass (f²)' = 2ff' gilt.

14.03.2010, 12:06

Manuel20

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RE: Sobolevraum

Zitat:

Original von WebFritzi

Ich denke, wichtiger zu erwähnen ist hier, dass (f²)' = 2ff' gilt.

Das hab ich auch erhalten, mit Hilfe der Produkteregel smile

Zitat:

Original von Sly

Sofern du das eingesehen hast, benutze die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2xy \leq x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ für alle reellen Zahlen x,y. (Solltest du dann entsprechend beweisen, ist aber leicht).

Mithilfe dieser Ungleichung solltest du das ganze schon gut abschätzen können...

Oke, das hab ich schon eingesehen.
Was ich auch schon gemacht hab, ist eben, die Gleichung unter Hinweis abgeleitet (siehe oben). Nun habe ich einfach alles mal in die obere "Hauptungleichung" eingesetzt, was mir eigentlich aber nicht viel gebracht hat.
Ich seh halt noch nicht ganz, wie ich deine Ungleichung verwenden soll / kann, um die zu zeigende zu verifizieren...

Ich danke vielmals um die Hilfe und wünsche einen schönen Sonntag!

14.03.2010, 15:19

WebFritzi

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Jetzt vielleicht:

$\begin{eqnarray*} |f(x)|^2 \le \left| \int_a^x\,ff'\,dt \right| + \left| \int_x^b\,ff'\,dt \right| \le \int_a^x\,|ff'|\,dt + \int_x^b\,|ff'|\,dt = \dots \end{eqnarray*}$

14.03.2010, 17:36

Manuel20

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$\begin{eqnarray*} ... = -(a-b) \cdot f \cdot f' \end{eqnarray*}$

dann könnte man folgende Abschätzung machen:
$\begin{eqnarray*} -(a-b) \cdot f \cdot f' \leq \frac{1}{2} \int_a^b \! f^2(x) + (f')^2 \, dt \end{eqnarray*}$

Wäre das so möglich?

14.03.2010, 18:16

Sly

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Zitat:

Original von Manuel20
$\begin{eqnarray*} ... = -(a-b) \cdot f \cdot f' \end{eqnarray*}$

ne das ist jetzt wieder quatsch...eine stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f\cdot f' \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} f^2 \end{eqnarray*}$

und jetzt denk noch mal scharf nach... Augenzwinkern

14.03.2010, 18:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Sly

Zitat:

Original von Manuel20
$\begin{eqnarray*} ... = -(a-b) \cdot f \cdot f' \end{eqnarray*}$

ne das ist jetzt wieder quatsch...

Das unterschreibe ich. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Sly
eine stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f\cdot f' \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} f^2 \end{eqnarray*}$

Na und? Das hat man doch nur für den Hinweis gebraucht. verwirrt

14.03.2010, 21:45

Manuel20

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na dann könnte man ja folgende Abschätzung machen, oder? :

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{1}{2} f^2 + \frac{1}{2} f^2 = f^2 \leq \frac{1}{2} \int_a^b \! f^2(x) + (f')^2 \, dt \end{eqnarray*}$

14.03.2010, 23:20

Sly

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Sly
eine stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f\cdot f' \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} f^2 \end{eqnarray*}$

Na und? Das hat man doch nur für den Hinweis gebraucht. verwirrt

Richtig...ich wollte nur andeuten, dass der Rechenschritt nicht Quatsch ist, weil er etwa nur auf der falschen Fährte wäre, sondern unter allen Umständen Quatsch.

@ Manuel20: Nein, das sollst du doch zeigen. Und was soll wieder (...) sein?

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