lineare Geometrie

22.10.2006, 14:57	citti09	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Geometrie Hallo, auch wenn das Thema hier nicht ganz reinpasst, versuche ich es trotzdem mal, da ich die Aufgabe unter "Sonstiges" nicht reinstellen konnte. ich habe folgende Aufgabe und kann diese nicht lösen... a) Gegeben seien die Geraden g1= m1x+b und g2= m2x+c. Wir definieren: g1=g2 <=> für alle x Element R (m1x+b = m2x+c). Beweisen Sie: g1=g2 <=> m1=m2 und b=c. b) Gegeben seien die Punkte P1= (x1, y1) und P2= (x2, y2). Es gelte: x1 ungleich x2 und y1 ungleich y2. Bestimmen Sie die (eindeutig bestimmte) Gerade g = mx+t, die durch diese beiden Punkte geht. Ich hoffe, mir kann jemand helfen!
22.10.2006, 15:11	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das Problem mit den Zugriffsrechten wird bald gelöst sein. Zur a) Sei also $\begin{eqnarray} g_1 = g_2 \end{eqnarray}$ . Per Definitionem ist dann $\begin{eqnarray} m_1x+b = m_2x+c \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Diese Gleichung ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} (m_1-m_2)x+(b-c)=0 \end{eqnarray}$ . Koeffizientenvergleich liefert $\begin{eqnarray} m_1-m_2 = 0 \end{eqnarray}$ und daraus folgt dann $\begin{eqnarray} b=c \end{eqnarray}$ . Bei der Rückrichtung musst du nun zeigen, dass aus $\begin{eqnarray} m_1=m_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=c \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} m_1x+b=m_2x+c \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt. Zur b) Du hast die 2 Gleichungen $\begin{eqnarray} \end{eqnarray} \begin{align} y_1 = mx_1 +t \\ y_2 = mx_2 + t \end{align} \begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ Daraus kannst du nun $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ bestimmen. Abschließend machst du dir noch über die Eindeutigkeit deiner Lösung bzw. Geraden Gedanken. Gruß, therisen
22.10.2006, 15:36	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön schonmal!!! Aber kannst du mir die Rückrichtung zu a) nicht auch noch zeigen?;-)
22.10.2006, 15:37	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Können schon, aber wir wollen hier keine Komplettlösungen bieten. Die Rückrichtung ist sogar noch einfacher, also probier's mal selbst aus. Du wirst dann verbessert, falls du einen Fehler gemacht hast.
22.10.2006, 15:48	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
okay so weit ist mir auch alles klar, verstehe das nur nicht mit dem Koeffizientenvergleich... warum wir aus der Gleichung (m1-m2)x + (b-c)=0...... m1-m2=0? was ist mit dem Rest?
22.10.2006, 16:18	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der sogenannte Identitätssatz für Polynome aus der Algebra: Zwei Polynome $\begin{eqnarray} P(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(X) = \sum_{k=0}^m b_k X^k \end{eqnarray}$ (wir dürfen o.B.d.A $\begin{eqnarray} n=m \end{eqnarray}$ annehmen) sind genau dann gleich, wenn für alle $\begin{eqnarray} 0 \leq \nu \leq n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} a_\nu = b_\nu \end{eqnarray}$ . Und aus der Gleichung $\begin{eqnarray} (m_1-m_2)x + (b-c) = 0x + 0 \end{eqnarray}$ folgt eben auf Grund dieses Satzes, dass $\begin{eqnarray} m_1-m_2 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b-c=0 \end{eqnarray}$ gelten muss. Klar? Gruß, therisen
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22.10.2006, 16:49	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar! Danke....:-)

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