Differentialrechnung Tangente

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14.03.2010, 02:20

Mathelover

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Differentialrechnung Tangente

Hallo liebe Boardies,
es geht immernoch um das Thema Differentialrechnung smile

Habe Probleme mit der folgenden Aufgabe. Ich hoffe ihr könnt mir einige Tipps geben smile

a) und b) sind einfach.

Aber wie sieht es mit c) ? Muss ich da einfach $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[]{3}}{3} \end{eqnarray*}$ setzten? Und somit nach x0 auflösen? Sowie bei einer Punktprobe?

Vielen Dank im Voraus

Mit freundlichen Grüßen

mathelover

14.03.2010, 02:24

tigerbine

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RE: Differentialrechnung Tangente
Du solltest besser die Ableitung gleich $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[]{3}}{3} \end{eqnarray*}$ setzen. Augenzwinkern

14.03.2010, 02:29

Mathelover

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RE: Differentialrechnung Tangente
Also meinst du:
f´ $\begin{eqnarray*} (x_{0}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[]{3}}{3} \end{eqnarray*}$
Und wieso?
da steht doch f in $\begin{eqnarray*} (x_{0}) \end{eqnarray*}$ und nicht f´ in $\begin{eqnarray*} (x_{0}) \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank tigerbine smile

14.03.2010, 02:39

FaulPelz

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Na weil die Ableitung doch die Steigung in einem Punkt festmacht.
Also ableiten und gleichsetzen.

14.03.2010, 02:39

tigerbine

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RE: Differentialrechnung Tangente
Also im Moment sehe ich den Unterschied von c) und d) nicht.

Es ist die Steigung einer Tangente an f vorgegeben. Und man soll sagen, für welches x0 diese Tangente ist. Tangtensteigung = Wert der Ableitung.

Vielleicht soll man das auch Lernen mit c) und d) verwirrt

14.03.2010, 02:55

Mathelover

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RE: Differentialrechnung Tangente
Ok vielen Dank, also wie ich es verstanden habe, muss das ganze so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[]{3}}{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[]{x_{0}}} \end{eqnarray*}$

Der rechte Teil wäre die 1. Ableitung. Und durch den linken Teil hab ich die Ableitung gleichgesetzt. Und jetzt soll ich nach $\begin{eqnarray*} {x_{0}} \end{eqnarray*}$ auflösen?

14.03.2010, 02:59

tigerbine

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RE: Differentialrechnung Tangente
Freude

14.03.2010, 03:07

Mathelover

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RE: Differentialrechnung Tangente
Coool danke tigerbine smile

das ist ja eigentlich ziemlich einfach smile

Ehm, mir fällt grad auf, dass d) identisch mit c) ist kann das sein?

Die e) versteh ich nicht.
Bei der f) muss ich doch einfach f(1) rechnen. Und das Ganze dann ableiten.
Weil es heißt ja, dass ich die Tangente (1.Ableitung) an der Funktion f von 1 bilden soll.
Stimmt das?

Eine weitere Frage: Was ist eigentlich der Unterschied, zwischen dem Funktionswert einer Funktion und dem Wert der ersten Ableitung einer Funktion?

14.03.2010, 03:16

tigerbine

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RE: Differentialrechnung Tangente

Zitat:

Original von tigerbine
Also im Moment sehe ich den Unterschied von c) und d) nicht.

f) Das ist Unsinn f(1) ist eine Zahl, die leitet man nicht ab. Außerdem sollst du die Tangente bestimmen. Das ist eine Gerade Typ "y=my+t". m ist eben die Steigung für x=1, also f'(1). Ableiten, dann x=1 einsetzen.

Zitat:

Eine weitere Frage: Was ist eigentlich der Unterschied, zwischen dem Funktionswert einer Funktion und dem Wert der ersten Ableitung einer Funktion?

Keiner. Wenn es sich um die e-Funktion handelt. Big Laugh

I.A. sind Funktion und Ableitung aber 2 verschiedene Funktionen, also sind das auch verschiedene Dinge.

14.03.2010, 03:17

Mathelover

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RE: Differentialrechnung Tangente
Ah ne, sorry.
Bei der f) muss ich die 1. Ableitung an der Stelle 1 berechnen, oder?
Also : f´(1)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[]{x_{0}}} \end{eqnarray*}$

Die Tangenten Steigung wäre dann also 1?

14.03.2010, 03:23

tigerbine

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RE: Differentialrechnung Tangente
jo.

14.03.2010, 03:26

Mathelover

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RE: Differentialrechnung Tangente
Ok vielen Dank tigerbine smile

Hast du vllt noch einen Tipp für die e) smile

14.03.2010, 03:28

tigerbine

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RE: Differentialrechnung Tangente
Stelle eben die Ungleichung auf und löse sie. Augenzwinkern

14.03.2010, 03:40

Mathelover

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Ok aber was ist mit "Steigung von f" gemeint?

So sollte das doch aussehen: "Steigung von f " < $\begin{eqnarray*} \frac{{64}}{49} \end{eqnarray*}$
?
Steigung von f kann doch einmal die Sekante sein, oder die Tangente?

14.03.2010, 03:42

tigerbine

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Zitat:

Das ist eine Gerade Typ "y=my+t". m ist eben die Steigung für x=1, also f'(1).

Was gilt dann wohl allgemein? Steigung von f an einer Stelle = Wert der Ableitung ab dieser Stelle.

14.03.2010, 03:50

Mathelover

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Also:

$\begin{eqnarray*} x < \frac{{64}}{49} \end{eqnarray*}$

Die Steigung von f an irgendeiner Stelle ist also = Tangentensteigung
Die mittlere Steigung von f wäre dann = Sekantensteigung

habe ich das so richtig verstanden?

14.03.2010, 03:57

tigerbine

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x ist nicht die Steigung von f.

14.03.2010, 04:07

Mathelover

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[]{x}} < \frac{64}{49} \end{eqnarray*}$

?

14.03.2010, 04:13

tigerbine

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Was sonst. Augenzwinkern

Für mich war es das jetzt aber. Gute Nacht.

14.03.2010, 04:15

Mathelover

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Ok danke vielmals smile

Hab heute echt was gelernt smile

Super Board hier Freude

14.03.2010, 23:00

Mathelover

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tigerbine,
ich komme irgendwie nicht weiter. Also bei der c)
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[]{3}}{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[]{x_{0}}} \end{eqnarray*}$

1)Nenner rational machen
2)Hauptnenner bilden
3)nach x auflösen

funktioniert aber irgendwie nicht.
Ich komme bis hier hin:

$\begin{eqnarray*} \frac{x * \sqrt[]{3}}{1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {3*x* \sqrt[]{x}}{1} \end{eqnarray*}$

wie gehts jetzt weiter?

14.03.2010, 23:08

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[]{3}}{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[]{x_{0}}} \end{eqnarray*}$

Es muss gelten $\begin{eqnarray*} x_0 > 0 \end{eqnarray*}$ . eigentlich sieht man die Lösung ja schon. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt[]{3}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[]{x_{0}}}{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[]{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt[]{x_{0}} \end{eqnarray*}$

Was ist dann wohl x0?

14.03.2010, 23:11

Mathelover

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$\begin{eqnarray*} x_{0} = 3 \end{eqnarray*}$
Aber darf man das dann einfach so vertauschen, nur weil $\begin{eqnarray*} x_{0} > 0 \end{eqnarray*}$ gilt?

Vielen Dank tigerbine smile

14.03.2010, 23:16

tigerbine

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Wieso vertauschen? Man muss sicherstellen, dass man nicht durch 0 teilt und die Wurzel nicht aus einer negativen Zahl zieht. Dann stellt man eben um.

14.03.2010, 23:20

Mathelover

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Ok alles klar smile

Vielen dank tigerbine smile

14.03.2010, 23:23

Mathelover

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Dann müsste das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[]{x}} < \frac{64}{49} \end{eqnarray*}$
ja auch so lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[]{x}}{1} < \frac{49}{64} \end{eqnarray*}$

oder?

14.03.2010, 23:26

tigerbine

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Nein. Denn da steht eine Ungleichung.

14.03.2010, 23:30

Mathelover

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Muss man bei Ungleichungen auch den Nenner rational machen?

14.03.2010, 23:38

tigerbine

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Es sind die Gleichen Rechenschritte zu tun. Nur Kann man bei Gleichungen auf das optische Vertauschen der Seiten verzichten.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[]{x}} < \frac{64}{49} \end{eqnarray*}$

was unten ist, soll oben hin. also: mal $\begin{eqnarray*} \sqrt[]{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 < \frac{64 \sqrt[]{x}}{49} \end{eqnarray*}$

Nun soll nur x auf einer Seite stehen.

$\begin{eqnarray*} 49 < 64 \sqrt[]{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{49}{64} < \sqrt[]{x} \end{eqnarray*}$

Beim Quadrieren muss man aufpassen, da links aber was positives steht, folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{49²}{64²} < x \end{eqnarray*}$

14.03.2010, 23:42

Mathelover

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Das heißt also wenn ich rechts die Wurzel ziehe, muss ich links quadrieren?

Vielen Dank

edit// Sorry habe da etwas übersehen, du ziehst ja nicht die Wurzel, sondern quadrierst beide seiten sowohl rechts als auch links.

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