Konvergenzradius

14.03.2010, 10:31

claudi.vw

Konvergenzradius

Meine Aufgabe

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^{n}*x^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$

also hab ich die Definition verwendet und das bekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\frac{n^{n} }{n!} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n^{n} } = \lim_{n \to \infty } n = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n! } = \infty \end{eqnarray*}$ oder?

Also hab ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\frac{n^{n} }{n!} } } =\frac{1}{\lim\frac{\infty }{\infty } }= \infty oder 1 ? \end{eqnarray*}$

Ich weiss nicht ob ich das richtig verstanden hab.

14.03.2010, 14:28

tohuwabou

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n! } = \infty \end{eqnarray*}$ oder?

Das stimmt nicht. Sollte 1 sein.
Edit : ich nehm alles zurück . Stimmt doch

14.03.2010, 15:34

Bullet1000

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Versuch mal anders an die Sache heranzugehen.

Verwende die folgende Formel:
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$

Herleiten kannst du diese über das Quotientenkirterium

14.03.2010, 16:18

claudi.vw

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oh cool dann ist das:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} *\frac{n!}{n^n} = \frac {1}{e} \end{eqnarray*}$

Dankeschön Freude

15.03.2010, 08:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von claudi.vw
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} *\frac{n!}{n^n} = \frac {1}{e} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Der linke Ausdruck ist weder 1/e, noch konvergiert er gegen diesen.

Sieht mir eher nach Hochschulmathe aus.

15.03.2010, 11:53

tohuwabou

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n! } = \infty \end{eqnarray*}$ oder?

Also nochmal schell dazu. Ich glaub was ich zu Anfang sagte stimmte Big Laugh

. Hab nochmal drüber nachgedacht eben.

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n! } = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}*\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n-1}*\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n-2}*...*\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1} \end{eqnarray*}$ .

Jeder einzelne Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Folglich auch der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n! } \end{eqnarray*}$

Nun sollte es aber stimmen smile

15.03.2010, 12:04

gonnabphd

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Zitat:

Original von Tohuwabou
Also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n! } = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}*\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n-1}*\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n-2}*...*\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1} \end{eqnarray*}$

Das sieht mir aber gefährlich aus... geschockt

Mal ein Gegenbeispiel (mit ähnlicher Überlegung):

$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n \to \infty} { \left(\ 1 +\frac{1}{n} \right)\ }^n \neq \lim_{n \to \infty} \left(\ 1 +\frac{1}{n} \right)\ \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\ 1 +\frac{1}{n} \right)\ \cdot ... \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\ 1 +\frac{1}{n} \right)\ = 1 \end{eqnarray*}$

15.03.2010, 12:45

tohuwabou

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ja, das stimmt verwirrt

. Aber ein Grenzwertsatz besagt doch auch $\begin{eqnarray*} \lim(a_n*b_n)=\lim a*\lim b \end{eqnarray*}$ . Wieso ist dann in deinem Beispiel der Grenzwert tatsächlich $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ?

Edit: achso , denke ist schon klar geworden. Weil der Exponent selber die Variable enthält, kann man die Rechenregel nicht anwenden . richtig?

15.03.2010, 12:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von tohuwabou
Weil der Exponent selber die Variable enthält, kann man die Rechenregel nicht anwenden .

Nun ja, so halb. Der Grenzwertsatz gilt nur für endlich viele Faktoren. Das ist eben das Gefährliche an diesen Pünktchen. Die suggerierieren einen falschen Sachverhalt. smile

Würde deine Behauptung stimmen, müßte der Konvergenzradius Null sein.

15.03.2010, 12:54

Iorek

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Der von dir zitierte Satz ist neben dem von klarsoweit angesprochenen Problem auch noch nicht vollständig:

$\begin{eqnarray*} \text{Seien}~(a_n)_{n \in \mathbb N},~(b_n)_{n \in \mathbb N}~\text{konvergente Folgen mit}~\lim\limits_{a\to\infty} a_n=a,~\lim\limits_{n\to \infty} b_n=b,~ \text{dann gilt:}~(a_n\cdot b_n)~\text{konvergiert mit}~\lim\limits_{n\to \infty} (a_n\cdot b_c)=a\cdot b \end{eqnarray*}$

Die Grenzwerte für die beiden Folgen müssen also existieren, damit du den GWS verwenden darfst, als einfaches Beispiel: $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=\frac{n^2}{n}=(n^2\cdot\frac 1n) \end{eqnarray*}$ , nach deiner Argumentation wäre der Grenzwert also 0 mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (n^2\cdot \underbrace{\frac 1n}_{=0})=0 \end{eqnarray*}$ , was er ja aber offensichtlich nicht ist. Grund dafür ist, das der Grenzwert für n² nicht existiert.

15.03.2010, 13:10

tohuwabou

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Ok , danke
@Iorek. War wohl etwas schlampig von mir aufgeschrieben Augenzwinkern

. Ich hätte besser schreiben sollen $\begin{eqnarray*} \lim(a_n*b_n)=a*b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ als jeweilige Grenzwerte. Keine Ahnung wieso ich da noch $\begin{eqnarray*} lim \end{eqnarray*}$ vorgeschriben hab.
thx

15.03.2010, 13:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Iorek
nach deiner Argumentation wäre der Grenzwert also 0

So hat tohuwabou nicht argumentiert. Die Grenzwerte der einzelnen Faktoren existieren ja.

15.03.2010, 13:23

Iorek

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat: