Konvergenzradius berechnen

14.03.2010, 14:03

akasharishi

Konvergenzradius berechnen

Gegeben sei die Funktion f:R->R

$\begin{eqnarray*} x->\frac{1}{x^2-x+2} \end{eqnarray*}$

Entwickeln Sie f in eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt Null. Welchen Konvergenzradius können Sie mindestens erwarten.

Hinweis: Schreigen Sie $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1-q(x)} \end{eqnarray*}$ und benutzen Sie die Summenformel der geometrischen Reihe. Verwenden Sie den binomischen Lehrsatz und sammeln Sie gleiche Potenzen von x.

Hallo!

Trotz des großzügigen Hinweises habe ich keine Ahnung, wie ich die Dreifachsumme in den Griff bekommen soll:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n(x-x^2-1)^k=\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{i=0}^k\begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} x^{k-i}(x^2-1)^i=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{k=i}^n\begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} x^{k-i}(x^2-1)^i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{k=i}^n\sum\limits_{j=0}^i\begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} x^{k-i}x^{2j}(-1)^{i-j}=\sum\limits_{j=0}^n\sum\limits_{i=j}^n\sum\limits_{k=i}^n\begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} x^{k-i}x^{2j}(-1)^{i-j} \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben?

Gruß

Rishi

15.03.2010, 14:49

akasharishi

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Stimmt es denn überhaupt bis hier?

16.03.2010, 08:42

Kühlkiste

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Zitat:

Original von akasharishi
Stimmt es denn überhaupt bis hier?

Nö, nicht so ganz. Du müsstest z.B. in eine unendliche geom. Reihe entwickeln.

Abgesehen davon ist - um in der Bezeichnungsweise des Tipps zu bleiben - Deine Wahl von $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ etwas ungünstig.

Betrachte stattdessen:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{x^2-x+2}=\frac 47 \cdot \frac 1{1-\left(-\left(\frac{2x-1}{\sqrt{7}}\right)^2\right)}. \end{eqnarray*}$

16.03.2010, 13:59

akasharishi

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Hallo nochmal!

Danke dir....ich wollte in der Reihe natürlich n gegen unendlich laufen lasse.
Aber wenn ich jetzt den Konvergenzradius berechnen will wäre es ja günstig, das Ganze auf eine Einfachsumme zu reduzieren und den Term hinter der Summe zu betrachten.
Bin auf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{i=0}^{2k}\begin{pmatrix} 2k \\i\end{pmatrix}(-1)^k (\frac{2x}{\sqrt{7}})^i(\frac{1}{\sqrt{7}})^{2k-i}=\sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{i=0}^{n}\begin{pmatrix} 2k \\i\end{pmatrix}(-1)^k (2x)^i(\frac{1}{\sqrt{7}})^{2k} \end{eqnarray*}$

gekommen.(Ohne die Unendlichkeit und den Vorfaktor zu berücksichtigen) Wie soll ich aber weitermachen?

Gruß

Rishi

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