Vektorrechnung Boot überquert den Fluss

14.03.2010, 17:05	Mathquester	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung Boot überquert den Fluss Meine Frage: Ein Boot fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h und ein Fluss fließt mit einer Geschwindigkeit von 5 km/h. Es soll ein bestimmter Anlegepunkt erreicht werden, zum Beispiel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 km \\ 4 km \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun hoffe ich dass mir einer von euch helfen kann, denn ich brauche die Lösung dringend für morgen. Meine Ideen: Mein Ansatz ist: Das Boot hat als Betrag die Geschwindigkeit v0=15 km/h. Somit kann ich mit Winkelsätzen einen Vektor erstellen: vBoot = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} sin(a)v0\\ cos(a)v0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Geschwindigkeit des Flusses ist: vFluss = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 km/h\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die daraus resultierende Geschwindigkeit mit der das Boot tatsächlich fährt ist vFahrt=vBoot+vFluss= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5+sin(a)v0\\ cos(a)v0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ich weiß, dass der Anlegepunkt s= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 km \\ 4 km \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Geschwindigkeit vFahrt t ist. So erhalte ich folgende Gleichung: vFahrtt = s. Wenn ich die Gleichung in ihre Komponenten zerlege und diese jeweils nach t auflöse, kann ich diese gleich setzen und erhalte folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{3km}{5+sin(a)vo} = \frac{4km}{cos(a)vo} \end{eqnarray}$ . Ab hier komme ich nicht weiter, habe alles versucht aber kann nicht nach dem Winkel a auflösen. Jetzt weiß ich nicht ob mein kompletter Ansatz falsch ist, oder ob ich nur eine Kleinigkeit übersehen habe. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke schonmal
14.03.2010, 20:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit anderen Worten, du hast die Gleichung $\begin{eqnarray} 9 \cos \alpha - 12 \sin \alpha = 4 \end{eqnarray}$ aufzulösen, nachdem du für $\begin{eqnarray} v_0 = 15 \end{eqnarray}$ eingesetzt und durch 5 dividiert hast. Bist du auch auf diese Gleichung gekommen? Tipp: Ersetze eine Winkelfunktion durch einen Ausdruck in der anderen. Nachdem du die Wurzel isoliert hast, quadriere die Gleichung. Beachte dabei, dass nicht alle Lösungen die Ausgangsgleichung erfüllen. Kontrolle! [ 21,4° ] mY+
14.03.2010, 21:57	Mathquester	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für die Mühe. Also auf die Gleichung 9 cos a - 12 sin a =4 komme ich, aber ich weiß nicht ganz durch was ich eine Winkelfunktion ersetzten könnte.
14.03.2010, 23:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 9 \sqrt {1 - \sin^2 \alpha} = 12 \sin \alpha + 4 \end{eqnarray}$ Jetzt quadrieren, $\begin{eqnarray} \sin \alpha = u \end{eqnarray}$ , quadr. Gleichung in u lösen, ... mY+ _______________ Edit: Alternative Methode: Der Ausdruck a.sin(x) + b.cos(x) kann als r.sin(x + h) geschrieben werden (), wobei r.cos(h) = a und r.sin(h) = b ist. Es folgt tan(h) = b/a. Es ist zwar r² = a² + b², aber r kann - je nach Vorzeichen von h bzw. a und b - auch negativ werden. Hier ist: a = -12, b = 9 --> tan(h) = -3/4 --> h, und r = -15 () Beweis mit Summensatz und Koeff.vergl. Du hast also folgende Gleichung zu lösen: $\begin{eqnarray} -15 \sin (x + \arctan (-\frac 3 4)) = 4 \end{eqnarray}$

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