Lösen: Sin(2x)-Cos(2x)=1

22.10.2006, 15:36

strichpunkt

Lösen: Sin(2x)-Cos(2x)=1

hallo ihr!

sitze jetzt schon seit einer stunde an diesem beispiel:
"Bestimme sämtliche reelen lösungen von Sin(2x) - Cos(2x) = 1"
Hab schon ziemlich alles von meinem formelheft durchprobiert, aber ich machs mir damit nur selber schwer.
bitte gebt mir einen lösungsansatz.

danke sehr,

strichpunkt

22.10.2006, 15:56

para

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Substituiert man erst einmal vereinfachend 2x=u, sieht das Ganze schonmal potentiell freundlicher aus:

$\begin{eqnarray*} \sin(u)-\cos(u) = 1 \end{eqnarray*}$

Eine Summe aus Sinus- und Cosinus kann man auch zu einer trigonometrischen Funktion zusammenfassen, in diesem Fall z.B. zu:

$\begin{eqnarray*} \sin(u)-\cos(u) = \sqrt{2} \cdot \sin \left(u - \frac{\pi}{4} \right) \end{eqnarray*}$

Also erhält man als zu lösende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot \sin \left(u - \frac{\pi}{4} \right) = 1 \end{eqnarray*}$

Diese solltest du leicher nach allen u auflösen können. Danach muss eben nur noch zurücksubstituiert werden. (Eigentlich ist die Substitution hier auch nicht unbedingt nötig, aber man sieht es damit vielleicht deutlicher.)

22.10.2006, 16:11

mYthos

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RE: Lösen: Sin(2x)-Cos(2x)=1
In diesem Fall führt das vorhergehende Berechnen der Ausdrücke nach dem Additionstheorem auch zum Erfolg:

$\begin{eqnarray*} 2 sin(x) cos(x) - cos^2(x) - sin^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$ [Edit] <- hier gehört vor dem sin² ein Plus! Oder die letzten 2 Summanden in Klammern! THX, Mercany!

$\begin{eqnarray*} 2 sin(x) cos(x) - cos^2(x) = 1 - sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 sin(x) cos(x) = 2 cos^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x) \cdot (sin(x) - cos(x)) = 0 \end{eqnarray*}$

-> Nullstellensatz für Produkt

sin(x) = cos(x) wird mittels Division durch cos(x) ( $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) sehr einfach ...

mY+

22.10.2006, 17:13

strichpunkt

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danke für die antworten!

jetzt hab ichs kapiert! war vorher auch schon nah dran, hab aber viel zu viel vom formelheft übernommen....

mfg strichpunkt

22.10.2006, 17:20

mercany

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RE: Lösen: Sin(2x)-Cos(2x)=1

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} 2 sin(x) cos(x) - cos^2(x) - sin^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Es müsste hier doch $\begin{eqnarray*} 2 sin(x) cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$ heißen.

Gruß, mercany

22.10.2006, 17:45

mYthos

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@Mercany

freilich, war jedoch nur 'n Schreibfehler, in der nächsten Zeile wurde ja richtig weitergerechnet, THX jedenfalls!

mY+

22.10.2006, 18:07

mercany

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Zitat:

Original von mYthos
@Mercany

freilich, war jedoch nur 'n Schreibfehler, in der nächsten Zeile wurde ja richtig weitergerechnet, THX jedenfalls!

mY+

Jo, wollte auch nichts anderes damit sagen.
Nur der Hinweis von mir, damit der Fragende es nicht falsch überträgt.

Gruß, mercany

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