Entscheide ohne Rechnung, ob Integral positiv oder negativ ist. Begründe

14.03.2010, 19:02	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Entscheide ohne Rechnung, ob Integral positiv oder negativ ist. Begründe Hallo, ich bin bei folgender Aufgabe: Entscheide ohne Rechnung, ob das Integral positiv oder negativ ist und begründe auch. $\begin{eqnarray} \int_{11}^{77} (5-2x)^4dx \end{eqnarray}$ ich muss also entscheiden, ob die Funktion für solch große x überhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft und kann dann auf den Flächeninhalt schließen. Was mich stört ist das hoch 4... Ich weiß, dass die Funktion 5x-2 eine Gerade ist, die den y-Achsenabschnitt 5 hat und die Steigung -2, sie fällt also und ist ab x=2,5 unterhalb der x-Achse $\begin{eqnarray} \int_{11}^{77} (5-2x)dx \end{eqnarray}$ wäre also negativ. Aber wie kann ich das hoch 4 da noch hineinbringen? Das wird ja ein ziemlich komplizierter Ausdruck. Reicht es zu sagen die -2x hoch 4 ergeben den größten Faktor, der den meisten Einfluss hat. Durch die positive Hochzahl 4 fällt das - raus und der Flächeninhalt ist deshalb positiv? Gruß, Duude
14.03.2010, 19:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Entscheide ohne Rechnung, ob Integral positiv oder negativ ist. Begründe Das Hoch 4 ist gerade das Gute. Denn genau das hilft dir bei deiner richtigen Idee!
14.03.2010, 19:32	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist das Integral positiv, da die Funktion die unter dem Integral steht sich in diesem Intervall oberhalb der x-Achse befindet. Sie befindet sich oberhalb der x-Achse da der Term mit der höchsten Hochzahl den größten Einfluss hat. Dieser ist $\begin{eqnarray} (-2x)^4= 16x^4 \end{eqnarray}$ Wenn hier die Funktion statt dem hoch 4 ein hoch 3 hätte, wäre das Integral negativ, da dann die höchste Hochzahl ein - davor hätte und sich die Funktion somit unterhalb der x-Achse bewegen würde. Würde das Integral so aussehen: $\begin{eqnarray} \int_{11}^{77} - (5-2x)^4dx \end{eqnarray}$ wäre es negativ, da das Minus davor eine Spiegelung an der x-Achse bewirkt und die Funktion somit in dem Intervall unterhalb der x-Achse verläuft. Müsste so stimmen, oder?
14.03.2010, 19:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Sei y:=(5-2x)². Wir sind hier im Reellen, ferner x>2.5, so gilt y² > 0. Damit folgt, dass das Integral positiv ist.
14.03.2010, 19:47	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ok Dann gilt für $\begin{eqnarray} (5-2x)^4 \end{eqnarray}$ das hier (wieder im Reellen): Für x>2,5 ist (5-2x)<0 Und wenn man etwa das kleiner als 0 ist hoch 4 nimmt, wird es größer als 0, da 4 ja eine gerade Hochzahl ist und das Minus so rausfällt. Und da die beiden Grenzen 11 und 77 größer als 2,5 sind, gilt für sie dieses Argument. Der Flächeninhalt ist also positiv. Für $\begin{eqnarray} (5-2x)^3 \end{eqnarray}$ gilt dann für x>2,5 also (5-2x)<0 und wenn man etwas das kleiner als 0 ist hoch 3 nimmt, bleibt es kleiner als 0, da das Minus drinbleibt. Hier wäre also der Flächeninhalt negativ. Was meinst du dazu?
14.03.2010, 19:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Du verstehst meine Argumentation nicht. Vergiss die konkrete Gestalt. Da steht $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} (f(x))^2~dx =\int_{a}^{b} f²(x)~dx \end{eqnarray}$ wobei f auf [a,b] ungleich der Nullfunktion ist (Nullstellen schon möglich). Es Der Graph von f² ist wegen dem ² nicht im negativen. Egal wie f nun aussieht. Daher sind diese Argumente über Potenzen unnötig. Darauf wollte ich schon in meinem ersten Post hinaus. Wenn das nicht der Fall ist, die Funktion oberhalb und unterhalb verläuft, kannst du ohne Berechnungen keine Aussage treffen.
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16.03.2010, 11:42	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, ich bin mir nicht sicher, ob ichs jetzt verstanden habe, aber ich probiers nochmals Du argumentierst hier ja immer mit einer quadratischen Funktion. Ich kann meine Funktion ja auf eine quadratische Funktion zurückführen: $\begin{eqnarray} (5-2x)^4=(5-2x)^{2 \cdot 2}=(5-2x)^{2^2} \end{eqnarray}$ Nun habe ich die Funktion in eine quadratische Funktion umgeschrieben. Somit wird jeder Wert der in der Klammer steht - ob positiv oder negativ - durch das Quadrat hinten positiv. Es hätte also auch die Funktion $\begin{eqnarray} (5-2x)^2 \end{eqnarray}$ genügt, aber nochmals im Quadrat nehmen macht ja nichts aus. Also sind alle Funktionswerte dieser Funktion positiv und somit muss auch das Integral positiv sein. Stimmt das so?
16.03.2010, 12:17	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.

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