Lebesqueintegral berechnen

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesqueintegral berechnen
Hallo zusammen,

wie berechnet man denn "konkret" ein Lebesqueintegral. Zum einen von Hand und zum anderen mit dem PC. Wäre super, wenn mir das jemand an einem einfachen Beispiel erklären könnte oder einen entsprechenden Link postet.

Danke.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lebesqueintegral berechnen
So, um mir gänzlich die Blöße zu geben. Wenn ich mich nun für das Lebesqueintegral einer Funktion auf einem Vieleck interessiere, wie berechne ich das denn? Ups Hat das dann was mit Flächenintegralen zu tun? Die habe ich auch noch nie berechnet. Wer da eine Seite für dummies hat, ist mir herzlich wilkommen. Augenzwinkern
giles Auf diesen Beitrag antworten »

kA was du jetzt genau willst oder wie allgemein du dir das vorstellst... ich mach mal einen Anfang...

Du möchtest sowas berechnen , ?
Also wenn stetige Funktionen existieren





so dass Lebesgue-f.ü. zumindest stückweise auf , kann man auf diesen Stücken über mit dem guten alten Hauptsatz über das Riemann-Integral berechnen (Integralwerte gleich, durchaus wichtiger Satz).


Für mehrere Dimensionen (d.h. ) gibts ja die schöne Fubini-Formel, d.h. jede Variable nacheinander zu integrieren.
Du musst bei einem Vieleck oder allgemeiner einer Menge, dann halt die Grenzen danach richten, z.B. auf einem Quader




wäre eine stetige Funktion f über das 2-d-Lebesgue Maß integriert


Was man wiederum nacheinander mit dem Hauptsatz auswerten kann.

Das ist nicht immer sooo einfach.
Ein anderes Beispiel wäre z.B. eine Kugel


Hier wird die Menge durch eine Beziehung unter den Variablen gegeben, es muss also so in den Grenzen auftauchen:

sieht natürlich nicht schön aus, darum gibts die Physiker-Notation obendrauf:

Ist so erhält man dadurch das Volumen.

Allgemeiner als das hab ich auch noch nie Integrale berechnet =)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von giles
kA was du jetzt genau willst oder wie allgemein du dir das vorstellst... ich mach mal einen Anfang...


Da du Physiker bist. Im Moment will ich elliptische DGLs mit Finite Elemente Methoden lösen. Dtändig tauchen für Normen und Skalarprodukte Lebesqueintegrale über einen Gebiet (aus IR² oder IR³) auf. Spätestens beim Aufstellen des LGS zur approximativen Lösung muss ich dann so ein Integral ja mal berechnen, oder in Matlab einen Befehl dafür eingeben. Daher meine Frage hier.

Danke für deine Ausführungen, dann habe ich mit Fubini ja nicht so falsch nachgeschlagen. Würde ich dann ein Sechseck z.B. erstmal noch unterteilen, bevor ich integriere?

edit: da in einem Skript erwähnt wird, dass man diese Integrale mit Quadraturformeln berechnet, interessiert mich auch, wie diese für Flächenintegrale aussehen. Macht man dann mit Fubini 2x 1d Quadratur? verwirrt
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Der Trick ist, die Begrenzungen zu finden. Ein Sechseck ist eigentlich ein gutes Beispiel für etwas, was man nicht mit der Hand ausrechnen würde, da es sich nur extrem schwer als Punktmenge beschreiben lässt.

Deine Fragen zu den numerischen Verfahren könnte ich leider erst Ende nächsten Semesters beantworten.
Vllt. kennt sich ja jemand anderes mit sowas aus verwirrt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Bei uns in der Vorlesung wurde gesagt, dass du für eine numerische Quadratur in diesem Fall mit dem Wert der Funktion auf dem Dreiecksschwerpunkt mal der Fläche ein gutes Resultat kriegst [i.e. der Mittelwert des Integrals].
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
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