Eigenwert

15.03.2010, 00:14

Manuel20

Eigenwert

Gegeben sei:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3 & 1 \\ -8 & 6 & 6 & -1 \\ 13 & -8 & -8 & 2 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für die Eigenwertsberechnung rechne ich ja:
det(A - lambda*E).

Wo liegt aber der Fehler, den ich bei der Ausführung mache?
(Das Ergebnis des Rechners ist leider nicht äquivalent mit meinem "von Hand" ausgerechneten Ergebnis..)

$\begin{eqnarray*} det(A - \lambda E ) = (6- \lambda)(6- \lambda)(-8 - \lambda)(0- \lambda) + -3 \cdot 6 \cdot 2 \cdot -2 + -3 \cdot -1 \cdot 13 \cdot 1 - \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2 \cdot -8 \cdot 6 \cdot 1 - 1 \cdot (-8 - \lambda) \cdot -1 \cdot (6- \lambda) - (0- \lambda) \cdot 13 \cdot (6- \lambda) \cdot -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lambda^4 - 4 \lambda^3 - 20 \lambda^2 + 56 \lambda - 33 \end{eqnarray*}$

15.03.2010, 00:17

jester.

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Die Regel von Sarrus gilt nur für $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ -Matrizen.

15.03.2010, 00:24

Manuel20

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shit..kein Wunder stimmt das Ergebnis nicht..
Wie könnte man das denn für eine 4x4 Matrix machen?
..es gibt ja diverse Algorithmen, oder?

15.03.2010, 00:31

zweiundvierzig

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Um die Determinante zu berechnen, kannst Du ja z.B. einfach eine Laplace-Entwicklung anwenden.

15.03.2010, 00:35

Manuel20

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Hm.
Wie würde das denn im konkreten Fall aussehen?
Habe bis jetzt immer mit der Sarrus-Regel gearbeitet.. :S
(und deshalb war wohl nicht immer alles richtig..)

15.03.2010, 00:40

zweiundvierzig

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Etwa so.

15.03.2010, 01:16

Manuel20

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Stimmt also folgendes? :

$\begin{eqnarray*} det(C- \lambda E) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6 \cdot \begin{vmatrix} 6 - \lambda & 6 & -1 \\ -8 & -8 - \lambda & 2 \\ 1 & 0 & 0- \lambda \end{vmatrix} - -3 \cdot \begin{vmatrix} -8 & -1 & 6 \\ 13 & 2 & -8 - \lambda \\ -2 & 0- \lambda & 0 \end{vmatrix} + -3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -8 & 6 - \lambda \\ 2 & 13 & -8 \\ 0 - \lambda & -2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 6 - \lambda & -8 \\ -8 - \lambda & -8 & 13 \\ 0 & 1 & - 2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

15.03.2010, 01:34

Iorek

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Sieht soweit richtig aus, du kannst das ja aber auch einfach selbst überprüfen, wenn du das weiter ausrechnest und mit dem richtigen Ergebnis (dass du ja zu haben scheinst) vergleichst Augenzwinkern

Anmerkung: Ich nehme an du willst damit das charkt. Polynom bestimmen, oder? Warum berechnest du das nicht über $\begin{eqnarray*} \chi_A=\det(\lambda I_4-A) \end{eqnarray*}$ , dann wäre das direkt normiert smile

15.03.2010, 07:45

jester.

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Mal eine ganz andere Frage: Warum entwickelst du nicht nach der letzten Zeile? Da hättest du glatt mal nur die Hälfte der Arbeit (nur zwei $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ -Determinanten zu berechnen).

Edit: Stimmt nicht ganz, wenn man noch die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in der Matrix hat. Dann sind es drei, was aber immer noch besser als 4 ist.

Zitat:

Original von Manuel20
Stimmt also folgendes? :

$\begin{eqnarray*} det(C- \lambda E) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6 \cdot \begin{vmatrix} 6 - \lambda & 6 & -1 \\ -8 & -8 - \lambda & 2 \\ 1 & 0 & 0- \lambda \end{vmatrix} - -3 \cdot \begin{vmatrix} -8 & -1 & 6 \\ 13 & 2 & -8 - \lambda \\ -2 & 0- \lambda & 0 \end{vmatrix} + -3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -8 & 6 - \lambda \\ 2 & 13 & -8 \\ 0 - \lambda & -2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 6 - \lambda & -8 \\ -8 - \lambda & -8 & 13 \\ 0 & 1 & - 2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt leider nicht, dir fehlt zum Einen vorne ein Faktor $\begin{eqnarray*} (6-\lambda) \end{eqnarray*}$ (das ist der Eintrag (1,1) in der Matrix); zum Anderen darfst du nicht die Spalten in der Matrix vertauschen, ohne das Vorzeichen entsprechend anzugleichen.

15.03.2010, 10:55

Iorek

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Das kommt davon, wenn man über sowas nachts um halb 2 drüberguckt, jester hat Recht.

15.03.2010, 21:44

Manuel20

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Oke, ich habe nun folgendes System, dessen Lösung stimmt:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 6 - \lambda & -8 \\ -3 & 6 & -8 - \lambda \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -3& 6 & -8 - \lambda \\ 1 & -1 & 2 \\ 6- \lambda & 0-8 & 13 \end{vmatrix} + (0- \lambda) \cdot \begin{vmatrix} 6- \lambda & -8 & 13 \\ -3 & 6- \lambda & -8 \\ -3 & 6 & -8 - \lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigentlich hätte ich den vordersten Faktor 2 als -2 gehabt, habe dann eben gesehen, dass die Lösung nur mit dem positiven Wert stimmt.
Wieso gibt es dort einen Vorzeichewechsel?
Besten Dank für die Hilfe!

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