falscher Grenzwert

15.03.2010, 18:17

Nali

falscher Grenzwert

Hey

habe hier folgendes Beispiel:

Berechne Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1 }~{\frac{sin(1-x^2)}{(x-1)(cos(x-1)-1}} \end{eqnarray*}$

ergibt nach L'Hospital:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1 }~{\frac{-2xcos(1-x^2)}{(cos(x-1)-1)+(x-1)(-sin(x-1))}} \end{eqnarray*}$

Das stimmt soweit, aber wenn ich nun x einsetze erhalte ich nach
$\begin{eqnarray*} sin(0)=0, cos(0)=1 \end{eqnarray*}$

den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{0} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$

aber die Lösung sollte doch $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ lauten, das zeigt zumindest der Graf:

http://img717.imageshack.us/img717/1950/grafp.jpg

wo liegt der Fehler? smile

Danke im Voraus

15.03.2010, 18:23

Airblader

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Wofür auch l'Hospital? Das kannst du hier garnicht anwenden.
Schau dir mal an, was der Zähler für x->0 macht.

air

15.03.2010, 18:32

Nali

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Sorry, ich hab mich vertippt!!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \end{eqnarray*}$ war falsch!!

es sollte heißen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1 } \end{eqnarray*}$

soeben ausgebessert : )

15.03.2010, 18:35

Airblader

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Dann beachte mal das "Vorzeichen" der Null. Es ist nämlich ein Unterschied, von wo aus der Nenner gegen Null geht.

air

15.03.2010, 19:21

Nali

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Zitat:

Original von Airblader
Dann beachte mal das "Vorzeichen" der Null. Es ist nämlich ein Unterschied, von wo aus der Nenner gegen Null geht.

air

hm versteh ich nicht... meinst du etwa damit, dass 0-0=-0 ergibt?

also z.B. in diesem Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{0-0}=\frac{-2}{-0}=+\infty \end{eqnarray*}$ ? smile

15.03.2010, 19:25

Airblader

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Ich meine damit folgendes:
Schauen wir uns mal $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ an:

Wenn du nun von rechts an $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ herankommst, dann hast du sozusagen $\begin{eqnarray*} \frac10 = \infty \end{eqnarray*}$ .

Gehst du nun aber von links an die Stelle, dann hast du ebenfalls $\begin{eqnarray*} \frac10 \end{eqnarray*}$ , aber in diesem Fall $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$

Das Beispiel soll dir zeigen, dass diese Schreibweise nicht nur grottenfalsch, sondern missverständlich ist.
Zwar geht der Nenner gegen Null, aber es ist eben niemals Null. Wenn er nicht Null ist, dann hat er ein Vorzeichen - so klein die Zahl nunmal auch sein mag.

In deinem Beispiel ist es genau das selbe: Zwar geht der Nenner gegen Null, aber er ist durchweg (und da sogar von beiden Seiten!) kleiner Null. Nochmal: Es geht gegen Null, ist aber immer kleiner als Null.
Der Nenner hat also ein negatives Vorzeichen und das kürzt sich natürlich mit dem negativen Vorzeichen des Zählers.

Kurzum: Es ist
$\begin{eqnarray*} (\cos(x-1)-1) + (x-1)(-\sin(x-1)) \leq 0 \end{eqnarray*}$ für alle x in einer Umgebung von x0 = 1.

air

15.03.2010, 19:36

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Es muss nicht immer L'Hospital sein: Erweitern mit $\begin{eqnarray*} \cos(x-1)+1 \end{eqnarray*}$ ergibt den Term

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(1-x^2)(\cos(x-1)+1)}{(x-1)(\cos^2(x-1)-1)} = \frac{x+1}{(x-1)^2} \cdot \frac{\sin(1-x^2)}{1-x^2} \cdot \left( \frac{x-1}{\sin(x-1)} \right)^2 \cdot (\cos(x-1)+1) \end{eqnarray*}$ ,

letztere Darstellung ist dabei in Hinblick $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 \end{eqnarray*}$ "optimiert".

15.03.2010, 19:44

tmo

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Oder mit $\begin{eqnarray*} 1+x \end{eqnarray*}$ . Das führt dann zu

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(1-x^2)}{1-x^2} \cdot \frac{1+x}{\cos(x-1)-1} \end{eqnarray*}$

Noch etwas einfacher meiner Meinung nach Augenzwinkern

15.03.2010, 19:49

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Ich hatte auch die Grenzwertbestimmung im Fall "ähnlicher" Terme im Sinn - etwa, wenn das $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ im Zähler statt im Nenner steht. Augenzwinkern

15.03.2010, 20:12

Nali

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Hui dickes danke für die Mühen!! (insb. Airblader) smile

allerletzte Frage:
$\begin{eqnarray*} (\cos(x-1)-1) + (x-1)(-\sin(x-1)) \leq 0 \end{eqnarray*}$ für alle x in einer Umgebung von x0 = 1

müsste man diese Aussage noch irgendwie beweisen oder reicht es im Allgemeinen, wenn ich z.B. mit zwei Fallbeispielen für links/rechtsseiten Grenzwert zeige, dass x stets <0 ist?

15.03.2010, 20:19

Airblader

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Dass x<0 ist musst du nicht zeigen, aber das ist ja auch nicht die Aussage, die dortsteht. Dass der Nenner negativ ist sollte schon begründet werden. Das ist aber nicht schwer:

Der erste Summand ist immer <= 0, offensichtlicherweise. Und beim zweiten Summanden erhälst du durch (x-1) und -sin(..) jeweils verschiedene Vorzeichen wenn x<1 oder x>1 ist, wodurch das Vorzeichen auch immer nichtpositiv ist.

Das war nun sehr knapp formuliert. Aber etwas Nachdenken kannst du darüber ja selber. Augenzwinkern

air

15.03.2010, 21:23

Nali

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Danke!

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