Betragsgleichung umformen?

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diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsgleichung umformen?
wenn ich die ungleichung habe:

4|6x+2| > 6|4x-10|

kann ich die ohne bedenken umformen in:

|6x+2| : |4x-10| > 6/4
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wann darf mann den nicht durch einen Term teilen?
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß eben nicht, ob ich das als eine multiplikation sehen kann (betrag und zahl davor). kann das auch was anderes bedeuten?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "als multiplikation" sehen? ?

Welche Zahl musst du aber erst einmal ausschließen wenn du dividieren willst?
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

genau das meinte ich... vielleicht ne dumme frage, will nur nicht gleich falsch rangehen...

du meinst sicher 2,5 ...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, für x=2.5 darfst du diese Umformung gar nicht erst machen, also musst du diesen Fall gesondert betrachten.

Und deine erste Frage: ja, das ist eine Multiplikation Augenzwinkern

Edit: Ich bin in 15 Minuten offline, falls sich also wer berufen fühlt hier weiterzuhelfen, so möge er dies gerne tun smile
 
 
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

hab also mal gerechnet: |6x+2| : |4x-10| > 6/4

4x - 10 > 0 --> x > 10/4
4x - 10 < 0 --> x < 10/4

-------------------------------------
1. Fall:

|6x+2| : |4x-10| > 6/4

|6x+2| > 6x-15

0 > -17

...stimmt ja die Aussage, aber was fang ich damit an?

------------------------------------
2. Fall:

-(|6x+2| : |4x-10|) > 6/4

|6x+2| : |4x-10| < -6/4

|6x+2| > -6x + 15

12x > 13

x > 13/12

also lautet die Lösung ja L = {(x>13/12), x element R}, oder
muss ich die 0 > -17 einbeziehen?
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir niemand sagen, ob das stimmt?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Betrachtung im 1.Fall, also geht soweit in Ordnung, da für all diese auch , und damit gilt. Das Ergebnis der Umformungen ist für all diese richtig, also sind alle Lösungen der Ungleichung.

Was den anderen Fall betrifft, der ist gründlich danebengegangen, das machst du am besten nochmal - diesmal besser nachdenken und weniger schludern.
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort...

hab nochmal durchgesehen und weiß nicht was du meinst :-(
hab wahrscheinlich nen knick in der pupille, aber ich seh den fehler nicht
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht schon am Start von Fall 2 los:

Zitat:
Original von diebiene85
-(|6x+2| : |4x-10|) > 6/4

Wieso mogelst du hier links ein negatives Vorzeichen rein? Völliger Unsinn!

Überhaupt war die Division durch |4x-10| zu Beginn deiner Betrachtungen kontraproduktiv, bleib doch bei der Ausgangsungleichung. Und die lautet nach Einsetzen der Fallbedingungen so:

1.Fall: : Ungleichung , im weiteren

2.Fall: : Ungleichung .

Zur Auflösung des anderen Betrages ist eine weitere Fallunterscheidung nötig.


------------------------------

Alternativweg: Bei der vorliegenden Aufgabe lohnt sich ausnahmsweise sogar quadrieren, was hier wegen der (aufgrund der Beträge) gesichert nichtnegativen Ungleichungsseiten eine äquivalente Umformung darstellt.
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

hab jetzt nochmal durchgerechnet und komme auf:

L = {x| -1/3 < x < 52/48 und x >= 10/4}

stimmt das jetzt?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, stimmt nicht.

Z.B. ist x=0 keine Lösung der Ungleichung, bei dir aber in der Lösungsmenge enthalten.

Also nochmal einzeln, Schritt für Schritt.
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

ich schreib dir mal meinen rechenweg:

1. Fall:

6x + 2 >= 0
x >= -1/3

4x -10 >= 0
x >= 10/4

24x+8 > 24x-60
0>-68

L1 = {x| x >= 10/4}
---------------------------------------
2. Fall:

6x + 2 >= 0
x >= -1/3

4x -10 < 0
x < 10/4

24x+8 > -24x+60
x > 52/48

L2 = {x| -1/3 < x < 52/48}
---------------------------------------
3. Fall:

6x + 2 < 0
x < -1/3

4x -10 >= 0
x >= 10/4

-24x-8 > 24x-60
x < 52/48

L3 = {}
---------------------------------------
4. Fall:

6x + 2 < 0
x < -1/3

4x -10 < 0
x < 10/4

-24x-8 > -24x+60
0 > 68 (WS)

L4 = {}
---------------------------------------

L = L1 u L2 u L3 u L4 = {x| -1/3 < x <52/48 und x >= 10/4}

vielleicht kannst du mir sagen, wo der fehler ist
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich die ungleichung habe: 4|6x+2| > 6|4x-10|



L = L1 u L2 u L3 u L4 = {x| -1/3 < x <52/48 unglücklich und x >= 10/4}
.... wo der fehler ist

.. der liegt bei dir, denn du hast noch nicht begriffen,
wie hier eine Fallunterscheidung funktionniert

das geht so:
1. Fall : wenn x>5/2 , dann kannst du die Betragszeichen weglassen
(und durch gewöhnliche Klammern ersetzen)
weil sowohl 3x+1 als auch 2x-5 in diesem Intervall positiv sind.

2. Fall: für -1/3 < x < 5/2 .. ist 3x+1 positiv und 2x-5 negativ

3. Fall wenn x<-1/3 dann sind beide, also 3x+1 und 2x-5 negativ

und jetzt kommts: alles was du bei jeweils einem dieser Fälle dann
durch die weiteren Umformungen erhältst, gilt nur im entsprechenden
zu Beginn jeweils genannten Intervall

ich schreibe dir mal für Fall 2.
die weiteren Schritte auf:
2. Fall: wenn -1/3 < x < 5/2
dann folgt
6x+2 > -6x + 15
12x > 13
x > 13/12 (= 1,083333..)

und nun liefert der Fall 2 also
-1/3 < x < 5/2 und x > 13/12

dh: der Fall 2 liefert den Lösungsbeitrag 13/12 < x < 5/2

so - und nun versuche nach diesem Muster die Fälle 1 und 3
in den Griff zu bekommen

wie sieht dann die Gesamtlösung richtig aus ? -> ..

smile
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

aber warum nimmt man da nur

6x+2 > -6x + 15?

die orginalgleichung lautet doch: 4|6x+2| > 6|4x-10| ...

was du gemacht hast, hatte ich am anfang auch gemacht


-----------------------------------------------
zitat:

2. Fall:

-(|6x+2| : |4x-10|) > 6/4

|6x+2| : |4x-10| < -6/4

|6x+2| > -6x + 15

12x > 13

x > 13/12

also lautet die Lösung ja L = {(x>13/12), x element R},
------------------------------------------------

steht weiter oben... und das soll falsch sein... :-(

ich blick langsam nicht mehr durch...
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von diebiene85
aber warum nimmt man da nur

6x+2 > -6x + 15?

die orginalgleichung lautet doch: 4|6x+2| > 6|4x-10| ...

was du gemacht hast, hatte ich am anfang auch gemacht


-----------------------------------------------
zitat:

2. Fall:

-(|6x+2| : |4x-10|) > 6/4 <-das ist ja ein Schwachsinn !
|6x+2| : |4x-10| < -6/4 geschockt
..
..

also lautet die Lösung ja L = {(x>13/12), x element R}, <- du hast also nichts kapiert
------------------------------------------------

steht weiter oben... und das soll falsch sein... :-(

ich blick langsam nicht mehr durch...

wieso langsam?

also nochmal:
"die orginalgleichung lautet doch: 4|6x+2| > 6|4x-10| ..."
und diese UN Gleichung kannst du zuerst mal etwas vereinfachen
wenn du lesen kannst: es steht oben , mit latex,

und nochmal:
welche "Starbedingung" hast du bei Fall 2 ?
richtig: du suchst im Intervall -1/3 < x < 5/2
(versuch das zu kapieren).. und da ist 3x+1 positiv und 2x-5 negativ ->..

und jetzt scheint mir, dass du mal nachschauen solltest, wie dieses
immer positive Ding namens "Betrag" ernsthaft definiert ist Wink

also:
weil 3x+1 positiv ist, gilt |3x+1|= 3x+1
weil 2x-5 negativ ist, gilt | 2x-5 | = - ( 2x-5) = - 2x + 5
so.. aber das sollte doch jemand, der im
Hochschulbereich Mathefreiübungen macht, sowieso wissen...

usw
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, dass du genervt bist...also

erstmal: ich weiß wie ein betrag definiert ist und ja ich kann in latex lesen...
zweitens: ich weiß, dass ich im 2. Fall im Intervall -1/3 < x < 5/2 suche
drittens: ich weiß das 3x+1 positiv und 2x-5 negativ ist

viertens: ich denke wir reden gerade aneinander vorbei

ich komm auch auf das ergebnis: (ist doch das gleiche, was du auch geschrieben hast

2. Fall:

6x + 2 >= 0
x >= -1/3

4x -10 < 0
x < 10/4

24x+8 > -24x+60
x > 52/48 (=13/12)

L2 = {x| -1/3 < x < 52/48}
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


ich denke ( <- das ist/wäre immer gut) smile

wir reden gerade aneinander vorbei


sieht bald wirklich so aus , denn dein Neues Lösungsangebot :

Zitat:
L2 = {x| -1/3 < x < 52/48}


ist ja leider wieder grausam falsch böse

und dabei könntest du doch oben nachlesen, wie es
aussieht, wenn man das Ergebnis richtig notiert..

.
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

mein einziger fehler, liegt im zusammentragen der lösungsmenge...

ich hab ja raus bekommen:

x >= -1/3
x < 10/4
x > 52/48

das einzige was ich falsch gemacht habe, ist der zusammenfassende
Lösungsbeitrag... da liegt mein denkfehler und aus dem werde ich nicht schlau,
was vermutlich daran liegt, das da scheinbar ne kleine schranke im kopf ist, die
sich nicht öffnet...

warum ergibt sich aus oben genannten ergebnissen:

52/48 < x < 10/4
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
warum ergibt sich aus oben genannten ergebnissen:
52/48 < x < 10/4


mach dir ein Bildchen: Zahlengerade : x-Achse, beschriften -2,-1,0,1,2,3 .
(wähle eine grosse Einheit, 2cm oder so)

nimm zwei Farbstifte :

und male zuerst alle x an, die im Intervall -1/3 < x < 5/2 herumliegen

und mit der zweiten Farbe: alle x mit: x > 13/12 .. da kommst du bis in die
positive Ewigkeit.

falls du von dort dann zurück bist, kannst du schauen,
welcher Bereich der x-Achse nun mit zwei Farben versehen ist

wenn du deine kleine Schranke öffnest, kannst du dann
"den zusammenfassendenLösungsbeitrag." vor dir sehen..

oder?
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

aaahhhhhhhhhhhhhhhhhhh fehler gefunden....

ich hatte es mir auch vorher aufgezeichnet... aber alle 3 intervalle einzeln
(also 3 farben) und dann den bereich genommen, wo dreifarbig ist...
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von diebiene85
aaahhhhhhhhhhhhhhhhhhh fehler gefunden....

ich hatte es mir auch vorher aufgezeichnet... aber alle 3 intervalle einzeln
(also 3 farben) und dann den bereich genommen, wo dreifarbig ist...


also : falls du nun wirklich die "Gesamt-Lösungsmenge"
gefunden hast, dann sollte das nun so aussehen:



ist erfüllt für alle reellen Zahlen x mit x > 13/12

fertig.
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

hab erstmal bei L3 geschaut:

L3 = {x| 13/12 > x > 10/4} ?
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von diebiene85
hab erstmal bei L3 geschaut:

L3 = {x| 13/12 > x > 10/4} ?
................... nein
.
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

dann:

L3 = {x| -1/3 > x > 10/4}?

wenn nicht, geb ich auf...

nein, warn spaß... wills verstehen und können...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das hier eigentlich Mathematik oder doch eher Raterunde? unglücklich

@corvus

Mein Beileid.
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

@ arthur dent: ich wills ja gern vertsehen...

wenn ich die 3 intervalle:

x < -1/3
x >= 10/4
x < 52/48

auf einen zahlenstrahl male, so haben sie zusammen kein gemeinsames Intervall...
deswegen, versteh ich das nicht
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann sag es doch klar und deutlich: , also leer.
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent
danke für dein tiefempfundenes Mitgefühl,
ja, ich bin dabei die Hoffnung zu Grabe zu tragen . ..
Komm doch zum Leichenschmauss auf ein Glas Prost
.
diebiene85 Auf diesen Beitrag antworten »

jungs beruhigt euch... ich habs verstanden...

L3 und L4 sind leere Mengen...

und aus:

x >= 5/2 und

13/12 < x < 5/2

folgt

L = {x| x > 13/12}

...sorry das ich euch den schmaus verderben muss ;-)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So ist das halt mit den Jungs und weiblicher Unlogik. Augenzwinkern
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