Näherungsweise Nullstellen <-> Echte Nullstellen

15.03.2010, 19:47

KeinPlanVonMathe

Näherungsweise Nullstellen <-> Echte Nullstellen

Klausurvorbereitung ist angesagt, und ich habe mal wieder ein Problem bei einer Übungsaufgabe:

Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein kompaktes Intervall.
Zeigen Sie, daß eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f: I -> \mathbb R \end{eqnarray*}$
die näherungsweise Nullstellen besitzt,
auch eine echte Nullstelle besitzt,
d. h. zeigen Sie die Aussage
$\begin{eqnarray*} (\forall \epsilon > 0)(\exists x\in I) [|f(x)| < \epsilon] => (\exists x\in I)[f(x)=0] \end{eqnarray*}$

Ansatz:

Ausnahmsweise mal überhaupt keinen gescheiten.

Ich versuche mal festzuhalten, was gefragt ist:

Die Funktion ist stetig...
Auf I existiert also zu jedem Urbild ein Bild.

Epsilon-Delta-Definition:
Zu jedem Epsilon, existiert ein Delta,
so dass |f(x) - f(p)| < Epsilon
für alle x in D mit |x - p| < Delta

Meine Idee wäre nun folgende: Es ist gefragt, dass die Funktion näherungsweise Nullstellen hat, also mehrere. (zu JEDEM epsilon...)

Eventuell könnte man dann so argumentieren, dass für f(x) > 0 sowie f(x) < 0 einmal das epsilon unterschritten wird, womit nach dem Zwischenwertsatz folgt, dass der Wert f(x) = 0 angenommen werden musste.

Aber das wäre wohl immer noch nicht der allgemein Beweis, denn "näherungsweise" könnte ja auch bedeuten, dass es sich nur von einer Seite der 0 nähert (z.b. am Intervallende).

Stehe total auf dem Schlauch bei dieser Aufgabe, wie ihr seht.

15.03.2010, 20:18

giles

Auf diesen Beitrag antworten »

Also erst mal o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ (sonst Zwischenwertsatz und fertig)

Dann zeigst du: Es gibt eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} f(x_k)=0 \end{eqnarray*}$
Das sieht man so: wähle $\begin{eqnarray*} \varepsilon_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ jetzt existiert $\begin{eqnarray*} x_n\in I \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f(x_n)<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ jetzt baust du dir damit deine Folge.

edit: Du musst dir auch noch überlegen, dass $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ als konvergent vorausgesetzt werden kann. Dazu brauchst du, dass $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ beschränkt ist + Bolzano-Weierstraß.

Wenn du das alles hast folgt es mit Stetigkeit der Funktion und Abgeschlossenheit des Intervalls.

15.03.2010, 21:21

KeinPlanVonMathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ich hatte die ganze Zeit auch überlesen, dass I kompakt ist.

Ich versuche also mal die Aufgabe mit Folge zu lösen (gerade habe ich in Wikipedia entdeckt, dass man Stetigkeit auch mit Folgen definieren kann, das war mir bisher neu), ich hoffe ich habe deinen Hinweis richtig verstanden:

$\begin{eqnarray*} {x_n} \end{eqnarray*}$ sei eine Folge reeller Zahlen, welche gegen einen Wert x konvergiert, an dem unsere Funktion f die fragliche Nullstelle annimmt.
Sei außerdem $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac {1} {k} \end{eqnarray*}$
Da I kompakt ist (d.h. abgeschlossen UND beschränkt), somit muss eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} x_{k(n)} \end{eqnarray*}$ existiern.

Für unsere Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sei also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_{k(n)}) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss gelten, dass

$\begin{eqnarray*} |f(x_k(n))| = \lim_{n \to \infty} f(x_n) \leq \lim_{n \to \infty} \frac {1} {n} = 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. die Null wird angenommen.

Wäre das damit gezeigt ?

Zitat:

Also erst mal o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ (sonst Zwischenwertsatz und fertig)

Meinst du damit, dass man mit "Zwischenwertsatz only" nur die Funktionen mit Vorzeichenwechsel zeigen kann ?

15.03.2010, 21:25

KeinPlanVonMathe

Auf diesen Beitrag antworten »

(ich weiß nicht wie man mit Latex einen doppelten Indize hinbekommt, habe deshalb das mit Klammer geschrieben bei der Teilfolge)

15.03.2010, 23:14

giles

Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Folgenkriterium für Stetigkeit?? Hm, dann machen wir es etwas anders. Geht glaub ich sogar noch etwas einfacher.

Du solltest wirklich besser argumentieren für die Folge (die ist wichtig):

Zitat:

$\begin{eqnarray*} {x_n} \end{eqnarray*}$ sei eine Folge reeller Zahlen, welche gegen einen Wert x konvergiert, an dem unsere Funktion f die fragliche Nullstelle annimmt.

Sowas ist nicht zulässig. Du kannst nicht sagen "sie konvergiert gegen die Nullstelle", wenn du deren Existenz zeigen willst!

Ich habe dir ja schon erklärt wie du die Folge zu konstruieren hast: Zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ existieren $\begin{eqnarray*} x_n \in I \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f(x_n)<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ jetzt kannst du für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ dir dieses $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nehmen. Damit kriegst du die Folge

$\begin{eqnarray*} y_n := f(x_n) \end{eqnarray*}$

welche, wie du schon gezeigt hast, gegen 0 konvergiert.

Jetzt benutzen wir den Satz: $\begin{eqnarray*} (X \supset ) I \end{eqnarray*}$ kompakt, $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ stetig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (Y \supset) f(I) \end{eqnarray*}$ kompakt.

Zeige nun: $\begin{eqnarray*} y_n \in f(I):\forall n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ jetzt gilt wegen Abgeschlossenheit(<= kompakt) von $\begin{eqnarray*} f(I) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} 0 = \lim_{n \to \infty}y_n \in f(I) \end{eqnarray*}$
folgere dann, dass auch ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in I \end{eqnarray*}$ existieren muss, so dass $\begin{eqnarray*} f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

16.03.2010, 01:19

KeinPlanVonMathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es war bloß sozusagen als Einleitung gedacht, um das kommende zu erklären.

Aber eigentlich dachte ich, (so verstehe ich jedenfalls Wikipedia zum Thema "Folgenkriterium der Stetigkeit"), dass es genügt die konvergente Teilfolge zu zeigen.

Wobei ich sehe, dass ich es etwas wirr geschrieben habe, also nochmal. Wäre super, falls du erläutern kannst an welcher Stelle/Schritt noch etwas fehlt, oder hängt:

1. Es sei $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac {1} {n} \end{eqnarray*}$ , für natürliche n.

2. Dazu finde ich ein $\begin{eqnarray*} x_n \in I \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |f(x_n)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

3. Benutze "Auf einem kompakten Intervall besitzt jede Folge auch eine konvergente Teilfolge", d.h. eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ besitzt ihre konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} (x_{k_{n}}) \end{eqnarray*}$

4. Jetzt sei $\begin{eqnarray*} \mathaccent 23 {x} = \lim_{n \to \infty}(x_{k_{n}}) \end{eqnarray*}$ , so dass gilt

5. $\begin{eqnarray*} |f(\mathaccent 23 {x})| = \lim_{n \to \infty}|f(x_n)| \leq \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Danke nochmal für die Mühe smile

16.03.2010, 02:42

giles

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, so hab ich mir das vorgestellt. Freude

Der Vollständigkeit halber noch 3 Sachen anmerken:
i) $\begin{eqnarray*} |f(x)| \end{eqnarray*}$ immer noch stetig
(pedantisch, ja, aber Mathematiker stehen auf sowas).
ii) nach Voraussetzung gilt $\begin{eqnarray*} x_{k_n} \in I:\forall n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ also wegen Abgeschlossenheit von I ist auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{k_n} \in I \end{eqnarray*}$
(doch ein sehr wichtiger Punkt, ist doch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathaccent 23 {x} \in I \end{eqnarray*}$ ! )
iii) die unterste Zeile sieht eher so aus:
$\begin{eqnarray*} |f(\mathaccent 23 {x})| = \lim_{n \to \infty}|f(x_{k_n})| \leq \lim_{n \to \infty}\frac{1}{k_n} = 0 \end{eqnarray*}$

16.03.2010, 13:54

KeinPlanVonMathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank smile

Aufgabe ist abgehakt, aber ich sehe auf dem Blatt schon eine kommen, die wieder eine Harte Nuss wird. Da werde ich das Forum wohl heute Nachmittag nochmal bemühen ^^

Neue Frage »

Antworten »

Näherungsweise Nullstellen <-> Echte Nullstellen

Verwandte Themen