Jordansche Normalform

16.03.2010, 01:06

Leo20

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Jordansche Normalform

Guten Abend allerseits!

Zwar drehen sich meine Fragen um das Ähnliche, wie bei pablosen, trotzdem möchte ich einen neuen Thread eröffnen, um meine Unsicherheiten an einem konkreten Beispiel zu beseitigen.

Sei folgende (nilpotente) Matrix A gegeben:

[attach]13906[/attach]

Das charakteristische Polynom lautet: -x^7
0 ist sechsfacher Eigenwert, die Eigenvektoren dazu lauten:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Okey - soweit sollte es eigentlich stimmen.
Nun kommt meine Frage: Wie fährt man nun weiter, um zur Jordanschen Normalform zu kommen?
..ich habe gesehen, dass teilweise mit der Dimension weiter argumentiert wird, bei anderen Quellen verwendet man den Rang..
Kurz: Ich würde gerne wissen, wie jetzt fortzufahren ist, um ans Ziel smile

smile

zu kommen...

Ich danke recht herzlich für alle Antworten und wünsche eine gute Nacht!

16.03.2010, 10:08

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform
Hi Leo,

Wenn $\begin{eqnarray*} x^7 \end{eqnarray*}$ das charakteristische Polynom ist, dann ist die algebraische Vielfachheit von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ eben gerade 7. Die geometrische Vielfachheit entspricht der Dimension des zugehörigen Eigenraumes.

Fragen:
- Bilden die drei von Dir genannten Vektoren schon eine Basis des Eigenraums zur $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ? (d.h. eine Basis des Kerns?) - Das kann man auch über den Rang der Matrix berechnen.
- Was ist das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ? (d.h. ab welchem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} A^n=0 \end{eqnarray*}$ ?)

Gruß,
Reksilat.

16.03.2010, 11:11

Leo20

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RE: Jordansche Normalform
Hallo reksilat!
Stimmt, 0 ist dann natürlich 7facher eigenwert.
A^n ist ab n=3 0. Heißt das nun, daß meine drei vektoren schon eine basis des eigenraums bilden, oder?
..wie kann man nun fortfahren?
Vielen Dank & liebe grüße!

PS: Der beitrag von manuel20 über die hauptraumzerlegung finde ich intereßant, weil ich ein ähnliches problem habe und an der selben Stelle Mühe habe.

16.03.2010, 11:26

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform
Das ist aber noch nicht die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts, denn wenn diese 7 wäre, dann müsste A die Nullmatrix sein.
__________________

Die Anzahl der Jordanblöcke kannst Du nun über die geometrische Vielfachheit herauskriegen. Jeder Basisvektor des Eigenraums steht quasi für einen Jordanblock.
Die Dimension des Eigenraums zu $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist ja gerade die Dimension des Kerns von $\begin{eqnarray*} A-\lambda E \end{eqnarray*}$ . Hier ist also die geometrische Vielfachheit gerade die Dimension des Kerns und diese kann man z.B. auch über den Rang berechnen.
__________________

Dass $\begin{eqnarray*} A^3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^2\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, bedeutet nun, dass es mindestens einen Jordanblock der Dimension 3 gibt und dass dies auch die maximale Dimension aller Jordanblöcke ist.
Das liegt daran, dass für einen Jordanblock der Dimension 4: $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} B^4=0 \end{eqnarray*}$ ist. Hätten dagegen alle Jordanblöcke eine kleinere Dimension als 3 so wäre insgesamt auch schon $\begin{eqnarray*} A^2=0 \end{eqnarray*}$ .

16.03.2010, 12:26

Leo20

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RE: Jordansche Normalform
Die algebraische Vielfachheit ist 7 (so hab ich das gedacht..stimmt so, oder?) und die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert 0 ist 3.

Das heisst, es gibt 3 Jordanbloecke mit mindestens Dimension 3.

Ich hoffe, soweit habe ich alles richtig verstanden..

In der Jordanschen Normalform werden die Bloecke ja dann "integriert". Meine Frage ist nun, wie man dann die Basisvektoren in die Jordanbloecke schreibt, um am Schluss die richtige Jordansche Normalform zu haben..?

Besten Dank fuer die ausfuehrliche Antwort von vorhin!

16.03.2010, 12:37

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform

Zitat:

Das heisst, es gibt 3 Jordanbloecke mit mindestens Dimension 3.

Nein, die Jordanblöcke haben maximal die Dimension drei. Habe ich oben etwas ungenau aufgeschrieben: wenn ein Block B der Dimension 4 dabei wäre, dann wäre $\begin{eqnarray*} B^3\neq 0 \end{eqnarray*}$ und somit auch die ganze Matrix $\begin{eqnarray*} A^3\neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Mit der maximalen Dimension und der Anzahl der Jordanblöcke kannst Du jetzt aber auch schon sehr viel über die fertige JNF aussagen. Du hast drei Blöcke der Dimension $\begin{eqnarray*} d_1,d_2,d_3\leq 3 \end{eqnarray*}$ . Die Reihenfolge ist hierbei egal und die gesamte Dimension muss ja wieder die Dimension des Raumes ergeben. Welche (zwei) Möglichkeiten bleiben somit noch für die $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ ?

Anschließend kannst Du dann die Ränge von $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ und von den beiden möglichen JNF vergleichen, um die richtige zu finden.

Gruß,
Reksilat.

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16.03.2010, 13:02

Leo20

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RE: Jordansche Normalform
Also ich kaeme auf drei Moeglichkeiten:
d_1 koennte Dimension 3 haben, also haben d_2 und d_3 Dimension 0, alle koennten Dimension 1 haben oder ein d_i hat Dimension 1, ein anderes Dimension 2 und das dritte Dimension 0.

..oder wie hast du das gemeint?
Und noch eine Frage zum naechsten Schritt, der dran kommen wuerde: dem Rangvergleich. Wenn ich dann weiss, welche Dimension die Jordanbloecke haben - mit welchen Eintraegen fuelle ich sie dann?

Sorry, dass du das dermassen elementar erklaeren musst..aber so bringt es mir sicher am meisten - und evtl auch kuenftigen Forums-Besucher.. smile

smile

16.03.2010, 13:09

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform
A ist eine 7x7-Matrix. Auch die JNF wird die Dimension 7x7 haben. Ich frage mich, wie Du jetzt auf 3+0+0=7 kommst. Du weißt hoffentlich, wie so eine JNF aussieht.
Außerdem sind Jordanblöcke der Dimension 0 nicht relevant - es geht hier um nichttriviale Blöcke.

btw.: Ich hatte oben bereits erwähnt, dass mindestens ein Block der Größe 3x3 dabei sein muss.

16.03.2010, 13:31

Leo20

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RE: Jordansche Normalform
Ouw sorry, das habe ich ueberlesen.
Na dann sind die zwei Moeglichkeiten folgende:
Entweder gibt es zwei 3x3 Jordanbloecke und einen 1x1 Block,\
oder es gibt einen 3x3, und zwei mal 2x2 Bloecke.

Gut, nun weiss ich, welche Dimensionen die jeweiligen Bloecke haben koennen.
Es bleibt aber noch die Frage, wie ich diese Bloecke fuelle, d.h. mit welchen Werten?

Der Rang von A^2 betraegt 1. (Wieso genau A^2 und nicht zB einfach A? )

16.03.2010, 14:11

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform
Die beiden Möglichkeiten für die Blöcke stimmen, aber Deine Frage, wie die Blöcke aussehen, macht mich schon wieder halb wahnsinnig. böse

böse

Der Thread zieht sich hier schon eine Weile und Du hast nicht mal verstanden, wie die Blöcke aussehen. Ohne dieses Wissen sind die meisten Sachen, die ich Dir bisher erzählt habe, nur bloße Fakten und wirklich verstehen kannst Du das dann nicht.
Deshalb ist es auch sinnlos, Dir die Frage zu beantworten, warum man jetzt den Rang von A² untersucht - Dir ist ja nicht mal aufgefallen, dass wir oben bereits die Informationen aus dem Rang von A verwendet haben. Wahrscheinlich ist Dir nicht mal klar, dass es statt A eigentlich immer $\begin{eqnarray*} A-\lambda E \end{eqnarray*}$ heißen müsste, wobei hier ja eben $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ ist. Das ist nämlich essentiell, wenn man dieses Vorgehen verallgemeinern möchte.

PS:
- Der Rang von A² ist nicht 1.
- Wie die Blöcke aussehen ist die Grundlage jeglicher Vorlesung über JNF und findet sich wirklich überall.

16.03.2010, 14:58

Leo20

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RE: Jordansche Normalform
Schau mal diesen Beitrag an:
matheraum.de/forum/Jordansche_Normalform/t81497?v=t

Bis zur Regel (die du mir auch erklaert hast) vor der Jordanschen Normalform ist alles klar.
Ich versteh allerdings noch nicht ganz, von wo er dann die Eintraege hat, die er in die JNF einsetzt.
Oben links: 1x1-Block zum Eigenwert 0, dann folgt ein 2x2 Block zum Eigenwert 1.
Von wo hat er aber die Eintraege: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

16.03.2010, 15:10

Reksilat

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Wo genau liegt denn genau das Problem?
Wie sieht denn ein 2x2-Jordanblock bei Dir aus? Warum muss ich das als Helfer selbst erraten? unglücklich

unglücklich

Ich nehme an, dass Du einen 2x2-Jordanblock als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kennst. Diese Matrix ist aber ähnlich zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\lambda&0\\1&\lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und deshalb ist es nicht so wichtig, ob man die Einsen über oder unter die Diagonale schreibt. Die JNF ist schließlich unter Ähnlichkeitstransformation invariant.

16.03.2010, 15:30

Leo20

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Achso, das heisst, die beiden moeglichen JNF's sehen so aus:

$\begin{eqnarray*} J_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} J_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun sollte ja man mit dem Rang von A^2 vergleichen, um rauszufinden, welche die richtige ist. Kann es sein, dass beide die "richtige" JNF sind?

16.03.2010, 15:35

Reksilat

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Nein! Wie sieht denn ein 3x3-Jordanblock zum Eigenwert 0 aus?

16.03.2010, 15:41

Leo20

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
fuer den eigenwert 0.

16.03.2010, 16:53

Reksilat

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Sicher? Man kann das so machen, aber ich habe das so noch nie gesehen und verstehe auch den Sinn dahinter nicht. Normalerweise nimmt man $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die zweite JNF ist aber definitiv falsch, da sie nicht mal ähnlich zu A ist.

16.03.2010, 17:19

Leo20

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Oke, schreiben wir mal die drei (moeglichen) Bloecke fuer den Eigenwert 0 hin.

1x1 Block:
$\begin{eqnarray*} (0) \end{eqnarray*}$

2x2 Block:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3x3 Block:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(etc.)

Das stimmt doch so, oder?

16.03.2010, 17:21

Leo20

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PS: Ja, die zweite JNF ist definitiv falsch..ich warte nun aber mit einer Verbesserung auf deine Antwort, da ich diesmal wirklich sicher sein moechte..

16.03.2010, 17:36

Reksilat

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Wie sieht denn nun ein Jordanblock bei Euch aus? Guck in den Hefter oder was auch immer Du da hast - da steht doch alles drin, das muss man nicht erst in zig Beiträgen im Matheboard klären.
Ich bin letztlich auch nicht für allgemeingültige Definitionen zuständig.

Nach meinem Wissen (und auch in der Definition bei Wiki) sehen die Jordanblöcke aber so aus, wie in Deinem letzten Beitrag. Alternativ kann man die Einsen aber auch unter die Diagonale schreiben.

16.03.2010, 22:49

Leo20

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Ja, wir schreiben die Blöcke auch so, wie im vorletzten Beitrag - sorry für die unnötige Fragerei!

Hier aber noch die zwei möglichen JNF:

$\begin{eqnarray*} J_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, nun käme der Rang-Vergleich dran, den ich noch nicht 100% verstehe.
A^2 hat ja Rang = 2, aber die beiden JNF oben haben je Rang 4...

17.03.2010, 10:30

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Rang von $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ und der JNF zu vergleichen ist ja auch Quatsch. Aber $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ja ähnlich zu einer der JNF und somit ist der Rang von $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ auch gleich dem Rang des Quadrats der JNF. Klar?

17.03.2010, 12:33

Leo20

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhh.. alles klaar! smile

smile

jupiii - ich danke dir ganz herzlich fuer deine Muehe und Geduld! smile

smile

Eine Frage haette ich allerdings noch:
Bei dieser Matrix
[attach]13918[/attach]

funktioniert das vorherige Vorgehen nicht...
Also ich kann kein n finden, sodass A^n = 0 ist.
Muss man die Matrix hier vorgaengig noch "zurechtbiegen", oder wie wuerde hier das Vorgehen ausschauen?
Besten Dank im Voraus und einen schoenen Tag!

17.03.2010, 12:42

Reksilat

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Natürlich funktioniert das nicht bei jeder Matrix; das funktioniert hier nur, weil 0 ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit sieben ist. Allgemein musst Du erst das charakteristische Polynom, bzw. die Eigenwerte und ihre Vielfachheiten ausrechnen.

17.03.2010, 12:52

Leo20

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hab ich gemacht:
Der Eigenwert ist 5 und hat algebraische Vielfachheit 4.
Zum EW 5 habe ich 4 Eigenvektoren gefunden.

17.03.2010, 12:56

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie sieht das char. Polynom aus? Hat diese Matrix noch weitere Eigenwerte?

17.03.2010, 14:50

Leo20

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Das charakteristische Polynom ist: 2(lambda-5)^4 .

Heisst das, dass ich ein beliebiger Eigenvektor (meiner vier) EV_1 nehmen kann, und dann eine Transformationsmatrix nach folgendem Schema bauen kann? :

Q = ( (A-1)^3 * EV_1, (A-1)^2 * EV_1, (A-1)*EV_1, EV_1)
(wobei A die Matrix ist.

17.03.2010, 14:58

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leo20
Nein. Das charakteristische Polynom ist: 2(lambda-5)^4 .

Unfug! Es handelt sich um ein 7x7-Matrix und insofern hat das char. Polynom den Grad 7. Und verwende für so was bitte LaTeX!

Und wie Du die TrafoMatrix basteln willst, ist mir auch unklar. Ich will Dir auch in diesem Thread nicht alles erklären, das ist einfach zuviel für mich. Schau z.B. mal hier: Transformationsmatrizen zur JNF finden

17.03.2010, 21:13

Leo20

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht: Lambda = 5 ist natürlich Eigenwert mit alg. Vielfachheit 7.
4 Eigenvektoren habe ich schon:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es tut mir Leid, dass du langsam keine Geduld mehr hast, aber ich habe wirklich nur noch diese Frage: Um die Transformationsmatrix konstruieren zu können, brauche ich nun ja noch 3 weitere Vektoren. Woher nehme ich die, bzw. wie konstruiere ich sie?

17.03.2010, 21:16

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau verstehst Du an dem von mir geposteten Link denn nicht? Romaxx erklärt das dort mMn sehr gut.

17.03.2010, 21:58

Leo20

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Frage ist konkret, wie man nun zu den drei weiteren Vektoren kommt.
Rechnet man da nicht? (nein..offensichtlich nicht..)
$\begin{eqnarray*} (A-5 \cdot E) = ... \end{eqnarray*}$ (erster, zusätzlicher VR)
$\begin{eqnarray*} (A-5 \cdot E)^2 = ... \end{eqnarray*}$ (zweiter, zusätzlicher VR)
...

?

17.03.2010, 22:00

Leo20

Auf diesen Beitrag antworten »

(der Punkt sollte der $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ sein - habe leider das "c" vergessen)

18.03.2010, 09:21

Reksilat

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Zitat:

Original von Leo20
Meine Frage ist konkret, wie man nun zu den drei weiteren Vektoren kommt.

Das ist eine völlig unkonkrete Frage, da die Vorgehensweise in entsprechendem Thread ja ausführlich erklärt wird!

Zitat:

Rechnet man da nicht? (nein..offensichtlich nicht..)
$\begin{eqnarray*} (A-5 \cdot E) = ... \end{eqnarray*}$ (erster, zusätzlicher VR)

Das ist Müll! Mit solchen Ausführungen kann ich nichts anfangen. unglücklich

unglücklich

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