Regression mti kubischen Polynomen -- Randbedingung

16.03.2010, 11:58	knoddel	Auf diesen Beitrag antworten »
Regression mti kubischen Polynomen -- Randbedingung Meine Frage: Hallo, ich habe eine Liste von n x-y-Paaren und möchte gerne eine Regression mit einem kubischen Polynom ax^3+bx^2+cx+d durchführen. Wichtig ist mir dabei, dass das Polynom exakt durch die Punkte (x0,y0) und (xn,yn) verläuft. Meine Ideen: Ich finde viele Methoden ein Regressionspolynom zu ermitteln, leider aber keine, welche meine spezielle Randbedingung beachtet. Ich freue mich auf Eure Hilfe! :-)
16.03.2010, 12:31	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das Polynom durch die Punkte $\begin{eqnarray} (x_0\|y_0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x_n\|y_n) \end{eqnarray}$ gehen soll, dann müssen die Nebenbedingungen gelten $\begin{eqnarray} y_0=ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_n=ax_n^3+bx_n^2+cx_n+d \end{eqnarray}$ Die Tatsache, dass das Polynom die anderen Punkte optimal annähern soll, wird durch die "Methode der kleinsten Quadrate" gelöst, ganz so wie man es bei Regressionsgeraden macht. Das bedeutet, die Summe der Quadrate der Abweichungen der gegebenen y-Werte von den y-Werten des Polynoms soll ein Minimum ergeben, also $\begin{eqnarray} Min=\sum\limits_{k=1}^{n-1} (y_k-ax_k^3-bx_k^2-bx_k-d)^2 \end{eqnarray}$ Das ist eine Standard-Extremwertaufgabe mit den beiden obigen Nebenbedingungen für die Variablen a, b, c, d.
16.03.2010, 13:57	knoddel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, da ich aber leider noch nicht so weit in Mathe bin, dass ich mehrdimensionale Extremwertprobleme lösen kann, würde ich mich freuen, wenn mir jemand zeigen könnte, wie das LGS aussieht, dass ich lösen muss. Ich bedanke mich im Voraus für Eure Hilfe!
18.03.2010, 12:24	knoddel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen würde und mir sagt, wie das LGS aussehen muss. Danke im Voraus!

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