Anfangswertaufgabe

16.03.2010, 13:45

ElBanditos

Auf diesen Beitrag antworten »

Anfangswertaufgabe

Hallo Freunde der Mathematik,

ich habe ein paar Probleme mit der folgenden Aufgabe,

$\begin{eqnarray*} (2+x^2)y'+xy = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1)=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------

zur Lösung:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dy}{y} = \int -{\frac {x}{2+x} dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|y| = ln|2+x^2|^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ wenn ich jetzt beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ multipliziere bekomme ich raus:

$\begin{eqnarray*} y = (2+x^2)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage, wie führe ich die Integrationskonstante C ein und was muss ich weiterhin machen um die Aufgabe zu beenden?

Danke und Grüße Wink

Wink

16.03.2010, 13:56

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Na wo wird wohl die Integrationskonstante hingehören: Unmittelbar dort, wo integriert wird, also hier:

$\begin{eqnarray*} ln|y| = ln|2+x^2|^{-\frac{1}{2}}+ C \end{eqnarray*}$

16.03.2010, 13:56

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Anfangswertaufgabe
Edit: Arthur macht weiter.

16.03.2010, 14:22

ElBanditos

Auf diesen Beitrag antworten »

ok gut

stimmt dann diese Behauptung

$\begin{eqnarray*} ln|2+x^2|^{-\frac{1}{2}} +C = ln|C*(2+x^2)|^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

dann wäre meine Lsg.:

$\begin{eqnarray*} y=C*(2+x^2)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C = y\sqrt{(2+x^2)} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} y(1)=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C = 3(2+x^2)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

stimmt das so weit?

16.03.2010, 16:18

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist als Zahl nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängig. unglücklich

unglücklich

Wenn du $\begin{eqnarray*} y(1)=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann doch bitte nicht nur $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , sondern auch $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2010, 12:00

ElBanditos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke,

als Hinweis, ich bin gerade dabei mir den Umgang mit Differentialgleichung selber bei zu bringen, also anhand des Vorlesungsskript versteht sich Augenzwinkern

Augenzwinkern

gleiches Thema andere Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} y'=ln|x| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1)=2 \end{eqnarray*}$

durch Trennung der Veränderlichen und der Integration erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} y=x*ln|x-1|+C \end{eqnarray*}$

die Lösung ist $\begin{eqnarray*} y=x*ln|x-1|+3 \end{eqnarray*}$ laut Skript,

ich weiß nicht so richtig wie dort hin komme, meine Vermutung ist nach $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ umstellen und dann $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ zu setzen um das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ heraus zu bekommen, aber das gelingt mir leider nicht.
Liege ich richtig mit meiner Vermutung oder verwende ich das $\begin{eqnarray*} y(1)=2 \end{eqnarray*}$ falsch, oder mach ich etwas anderes nicht richtig?

Danke für eure Hilfe!

viele Grüße Wink

Wink

Anzeige

17.03.2010, 12:28

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ElBanditos
durch Trennung der Veränderlichen und der Integration erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} y=x*ln|x-1|+C \end{eqnarray*}$

Ganz bestimmt nicht. unglücklich

unglücklich

Vielleicht meinst du ja

$\begin{eqnarray*} y = x(\ln|x|-1)+C \end{eqnarray*}$ ,

was etwas völlig anderes ist...

17.03.2010, 12:55

ElBanditos

Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht hab ich auch was anderes gemacht als ich dachte, also ich habe folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} y'=ln|x|~~mit~~ y(1)=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=ln|x|~~~/*dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy=ln|x|*dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int dy=\int ln|x|*dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = x*ln|x-1|+C \end{eqnarray*}$

ich bin grad ziemlich hilflos, wenn das falsch ist wie bestimme ich dann die allgemeine Lösung der DGL verwirrt

verwirrt

17.03.2010, 12:57

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Oben stand noch die DGL:

Zitat:

Original von ElBanditos
$\begin{eqnarray*} y'=ln|x| \end{eqnarray*}$

Können wir uns jetzt mal auf eine davon einigen??? Forum Kloppe

Forum Kloppe

17.03.2010, 13:01

ElBanditos

Auf diesen Beitrag antworten »

oh nein sry das ist ein Tipfehler es geht eindeutig um:

$\begin{eqnarray*} y'=ln|x| \end{eqnarray*}$

17.03.2010, 13:07

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sind die Rechnungen aus deinem letzten Beitrag ja wohl vollkommen hinfällig.

17.03.2010, 13:07

ElBanditos

Auf diesen Beitrag antworten »

kann es sein das ich einen Fehler beim integrieren von $\begin{eqnarray*} ln|x| \end{eqnarray*}$ gemacht habe?

17.03.2010, 13:11

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast aber eine mächtig lange Leitung, das habe ich doch schon oben 12:28 geschrieben.

17.03.2010, 13:22

ElBanditos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja tut mir leid, ich hab das irgendwie übersehen, ich habe also:

$\begin{eqnarray*} y'=ln|x| \end{eqnarray*}$

nach der Trennung der Veränd. sowie dem integrieren erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} y=x(ln|x|-1)+C \end{eqnarray*}$ richitg?

und wie setze ich jetzt $\begin{eqnarray*} y(1)=2 \end{eqnarray*}$ ein um auf die Lösung zu kommen?

meine Idee:

$\begin{eqnarray*} y(1)=1(ln|1|-1)+2 \end{eqnarray*}$

aber wie gehts dann weiter?

17.03.2010, 13:25

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Arrgghh! Einsetzen von $\begin{eqnarray*} y(1)=2 \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} y=x(ln|x|-1)+C \end{eqnarray*}$

bedeutet zunächst mal

$\begin{eqnarray*} 2 = 1\cdot (\ln|1|-1)+C \end{eqnarray*}$ .

17.03.2010, 13:29

ElBanditos

Auf diesen Beitrag antworten »

oh man is mir das peinlich Hammer

Hammer

,

jetzt habe ich es raus, danke!!!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »