Lipschitz -> Gleichmäßig -> Stetig

16.03.2010, 14:40

KeinPlanVonMathe

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Lipschitz -> Gleichmäßig -> Stetig

...und stetig weiter zum nächsten Problem !

Aufgabe:
D teilmenge R

f: D -> R

Zu zeigen:

f ist Lipschitz-Stetig => f ist gleichmäßig stetig => f ist stetig

Ansatz:

Mein schlaues Buch sagt zu Lipschitz:

Eine (...) Funktion f : D -> R heißt Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L > 0, falls:
$\begin{eqnarray*} (\forall x,y \in D) [|f(x)-f(y)| \leq L*|x-y|] \end{eqnarray*}$

Zu (gleichmäßiger) Stetigkeit sagt es ferner:

Zu jedem Epsilon ein Delta, so dass |f(x)-f(p)| < Epsilon für alle x,p aus R mit |x-p| < Delta.

Falls nun Delta nur von Epsilon, nicht aber von p abhängt, so spricht man von gleichmäßiger Stetigkeit.

Ich halte also fest:

JEDE gleichmäßig stätige Funktion ist auch normal-stetig, was unmittelbar aus der Definition oben folgt.

Probleme macht mir hingegen der erste Implikationspfeil:

Idee:

Eventuell Delta oder Epsilon von L abhängig machen ?

16.03.2010, 14:44

giles

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Sei $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq L\cdot |x-y|< L \delta \end{eqnarray*}$

klingelts?

16.03.2010, 15:11

KeinPlanVonMathe

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Noch nicht so ganz Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von giles
Sei $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq L\cdot |x-y|< L \delta \end{eqnarray*}$

Ich würde dann hier bei gegebenem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ für Delta $\begin{eqnarray*} \delta = \frac {\epsilon}{L} \end{eqnarray*}$ setzen.

Aber darf ich das ? (Mit Hinblick auf die gleichmäßige Stetigkeit)

16.03.2010, 15:17

giles

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Beantworte dir das selbst: hängt $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ab?

16.03.2010, 15:35

KeinPlanVonMathe

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Na ja, man hat ja L*|x-y| in der Lipschitz-Definition.

Auf der anderen Seite betrachtet man ja nicht x,y sondern f(x),f(y) wenn man die Funktion auf Lipschitz-Stetigkeit untersucht.

16.03.2010, 15:38

KeinPlanVonMathe

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Ah, ich glaube ich war gedanklich auf dem Holzweg:

L ist natürlich nicht abhängig von x,y ! Es resultiert ja aus diesen.

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16.03.2010, 17:19

KeinPlanVonMathe

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Ich hab mich nun auch mal hier angemeldet, so dass ich in Zukunft nicht immer doppelt und dreifach posten muss, sondern auch editieren kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also um die Aufgabe nochmal an einem Stück zu lösen:

1. Implikation "Gleichmäßig Stetig -> Normal Stetig" folgt unmittelbar aus der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit

2. Implikation "Lipschitz -> Gleichmäßig"

2.1 Sei f eine Lipschitz-Stätige Funktion mit L > 0. Sei außerdem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gegeben, setze $\begin{eqnarray*} \delta = \frac {\epsilon}{L} \end{eqnarray*}$

2.2 Sei nun $\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta \end{eqnarray*}$ , so folgt nach Lipschitz-Kriterium: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq L*|x-y| \end{eqnarray*}$ , also insbesondere $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| < L*\delta \end{eqnarray*}$ , und das ist gerade $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , womit unsere Stetigkeit bewiesen wäre

Korrekt soweit ?

16.03.2010, 17:21

giles

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Jo, war ja kein vergleich zu der anderen Aufgabe smile

smile

16.03.2010, 17:58

KeinPlanVonMathe

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Gut

smile

Na ja, ich bin mit der ganzen Materie halt noch nicht allzusehr vertraut von daher kamen sie mir subjektiv beide schwer vor (jaja bin ein dummer Ersti, Physiker noch obendrein Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

17.06.2010, 11:54

jabada

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Habe mit Interesse das Thema durchgelesen, meine Frage bezieht sich auch darauf.

Soweit hab cih alles verstanden, nun stellt sich die Frage:

Gelten diese Implikationen für alle Intervalle, also offen und geschlossen, oder muss man zwischen offenen und geschlossenen Intervallen unterscheiden ?

Bspw für ]0,1[ oder [0,1] .

Danke für eure Hilfe !

17.06.2010, 12:10

gonnabphd

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Zitat:

Gelten diese Implikationen für alle Intervalle, also offen und geschlossen, oder muss man zwischen offenen und geschlossenen Intervallen unterscheiden ?

Ja, diese Implikationen gelten für beliebige Intervalle (es wurden ja auch keine zusätzlichen Eigenschaften benutzt).

Für ein geschlossenes (kompaktes) Intervall [a,b] gilt jedoch sogar:

$\begin{eqnarray*} f \text{ stetig } \Leftrightarrow f \text{ gleichmässig stetig} \end{eqnarray*}$

Gilt die Äquivalenz in diesem Fall auch für die Lipschitz-Stetigkeit? Findest du ein Gegenbeispiel?

17.06.2010, 12:12

jabada

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Danke, das dachte ich mir soweit schon. Nur mit dem Beweis dessen tue ich mir schwer.

Was genau sollte deine letzte Zeile bedeuten ? Meintest du Lipschitz-beschränktheit ?

17.06.2010, 12:13

gonnabphd

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Jop, das meinte ich. Wink

Wink

17.06.2010, 12:22

jabada

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nun ja, ein gegenbeispiel habe ich allgemein, welches nicht lipschitz, aber gleichmäßig stetig ist:
f(x) = x^(1/2)

allerdings weiß ich nicht, wie sich das auf ein kompaktes intervall auswirkt.

17.06.2010, 12:32

gonnabphd

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Zitat:

allerdings weiß ich nicht, wie sich das auf ein kompaktes intervall auswirkt.

Das Intervall hat darauf keinen Einfluss (solange die 0 enthalten ist - bzw. die Funktion passend geändert wird).

17.06.2010, 12:43

Andi24

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@jabada

noch einer, der Ana1 bei Gekeler hört Wink

Wink

Also jetzt bei dem Fall, dass der Def.bereich ein kompaktes Intervall ist, dann ist das Bild doch wieder kompakt, die Funktion also beschränkt. Und wegen der Beschränktheit des Bildes oder Wertemenge, folgt dann aus der Definition der Stetigkeit direkt die gleichmäßige Stetigkeit. Lieg ich damit richtig?

Gruß

17.06.2010, 13:52

gonnabphd

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Hmm, so ganz "direkt" aus der Definition folgt das m.E. nicht. verwirrt

verwirrt

Siehe zum Beispiel hier (Satz 16JZ).

Zitat:

die Funktion also beschränkt. Und wegen der Beschränktheit des Bildes oder Wertemenge, folgt dann aus der Definition der Stetigkeit direkt die gleichmäßige Stetigkeit.

Betrachte z.B. die Funktion

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} (0,1] \rightarrow [0,1] \\ x \mapsto sin(1/x) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die ist auch beschränkt, stetig und ihr Wertebereich ist sogar kompakt, jedoch ist sie nicht gleichmässig stetig.

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