Berührpunkt von Graphen mit einem parameter.

16.03.2010, 17:56	Mathe412	Auf diesen Beitrag antworten »
Berührpunkt von Graphen mit einem parameter. Meine Frage: Hallo hab ein Problem mit dem Berührpunkt von 2 Graphen und dem Parameter bei diesen. Die Aufgabenstellung lautet: Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= \fraq{8}{9} x² + \fraq{2}{3} x sowie für jedes c \neq 0 die Funktion g_{c} mit g_{c} (x) = c x² + c . Bestimmen sie c so, dass sich die Graphen von f und g_{c} berühren. Ermitteln sie auch den Berührpunkt. Meine Ideen: Mein Ansatz ist wie folgt: f'(x) = g'(x) = \fraq{16}{9} x + \fraq{2}{3} = 2 c x = 16 x + 6 = 18 c x = 6 = (18c - 16)x = \fraq{6}{(18c-16)} = x = \fraq{3}{9c-8} = x Darauf hab ich die in f(x) = g(x) eingesetzt. (ich habe 9c-8 zur Vereinfachung a gennant.) f(x) = g(x) = \fraq{8}{9} (\fraq{3}{a})² + \fraq{2}{3} (\fraq{3}{a}) = c(\fraq{3}{a})² + c \|zusammenfassen = \fraq{8}{a²} + \fraq{2}{a} = \fraq{9c}{a²} + c \|mit a² multiplizieren = 8 + 2a = 9c + ca² \|auf eine Seite bringen = 9c + ca² - 2a -8 = 0 \| für a 9c-8 einsetzen = 9c + c(81c² - 144c +64) -2(9c-8) -8 = 0 \|zusammenfassen = 81c³ - 144c² + 64 c + 9c - 18c + 16 -8 = 0 = 81c³ - 144c² + 55c +8 Das ist genau der Punkt an dem ich nicht weiterkomme. Wie soll ich aus dieser Form c so bestimmen dass der Schnittpunkt herauskommt. Ich weiß einfach nicht wie ich die Gleichung jetzt weiter bearbeiten soll Danke schonmal für Hilfen. MFG
16.03.2010, 18:24	andy_m	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mal so nett, und mache es mal schön. Du musst es aber net zweimal Posten! ------------------- Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{8}{9} x^2 + \frac{2}{3}x \end{eqnarray}$ sowie für jedes $\begin{eqnarray} c \neq 0 \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} g_{c} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g_{c} (x) = c x^2 + c \end{eqnarray}$ . Bestimmen sie $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ so, dass sich die Graphen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{c} \end{eqnarray}$ berühren. Ermitteln sie auch den Berührpunkt. ------------------- $\begin{eqnarray} f'(x) = g_c'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{16}{9} x + \frac{2}{3} = 2 c x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 16x + 6 = 18cx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6 = (18c - 16)x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{6}{(18c-16)} = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3}{9c-8} = x \end{eqnarray}$ Ich würde dann so weiter machen: $\begin{eqnarray} f(x) = g_c(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{8}{9} x^2 + \frac{2}{3}x = c x^2 + c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\frac{8}{9}-c) x^2 + \frac{2}{3}x - c = 0 \end{eqnarray}$ Und dann mit p/q-Formel oder so lösen. Diesen x-Wert setzt du mit den anderen gleich und löst nach $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ auf!
16.03.2010, 18:35	para22	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss aber vorher erst x² auf 1 bringen oder? Dann nimmt die Rechnung ziemlich komplizierte Züge an. ich weiß nicht wie ich dann bei der pq-Formel die c und alles behandeln soll.
16.03.2010, 18:47	Para22	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry. Aber bei mir kommt da so etwas raus mit pq-formel. $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{8}{3}-3c} +/- (wurzel: \frac{1}{frac{64}{9}-16c} + \frac{c}{\frac{8}{9}-c} \end{eqnarray}$ ich komm da nicht weiter
16.03.2010, 19:31	andy_m	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich bekomme: $\begin{eqnarray} x^2 +\frac{2}{\frac{8}{3}-3c} \cdot x - \frac{c}{\frac{8}{9}-c} = 0 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{\frac{8}{3}-3c} \pm \sqrt{(\frac{1}{\frac{8}{3}-3c})^2 +\frac{c}{\frac{8}{9}-c}} \end{eqnarray}$
16.03.2010, 19:52	andy_m	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre der nächste Schritt... $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{8}{3}-3c} + \sqrt{(\frac{1}{\frac{8}{3}-3c})^2 +\frac{c}{\frac{8}{9}-c}} = \frac{3}{9c-8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{3}{8-9c} + \sqrt{(\frac{1}{\frac{8}{3}-3c})^2 +\frac{c}{\frac{8}{9}-c}} = \frac{3}{9c-8} \end{eqnarray}$ (Bruch erweitert) $\begin{eqnarray} \Rightarrow - \frac{3}{9c-8} + \sqrt{(\frac{1}{\frac{8}{3}-3c})^2 +\frac{c}{\frac{8}{9}-c}} = \frac{3}{9c-8} \end{eqnarray}$
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16.03.2010, 21:49	Para22	Auf diesen Beitrag antworten »
danke hab die lösung nach stundenlangem rechnen gefunden danke andy war echt nett von dir du warst meine rettung war echt fixe hilfe

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