Körper mit Charakteristik p, Polynom seperabel, Eigenschaften von Nst.

16.03.2010, 21:38	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper mit Charakteristik p, Polynom seperabel, Eigenschaften von Nst. Hallo, ich bräuchte recht kurzfristig Hilfe bei einer Frage. Ich hoffe das klappt noch. Sei p eine Primzahl, $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ der Körper mit p Elementen, K ein Körper der Charakteristik p und $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ eine Nst des Polynoms $\begin{eqnarray} f\left(T\right) = T^p-t-a \in K\left[T\right] \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: a) f ist separabel b) Für jede weitere Nst $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ von f gilt: $\begin{eqnarray} \alpha - \beta \in \mathbb F_p \end{eqnarray}$ Ich bin bisher nicht sehr weit gekommen bei der Aufgabe. Ich hab nur herausgefunden, dass $\begin{eqnarray} a = \alpha^p - \alpha \end{eqnarray}$ indem ich alpha in f eingesetzt und und das dann gleich Null gesetzt habe. Dann dachte ich, könnte man vielleicht eine Polynomdivision machen. Aber für allgemeine p ist das ne hässliche Sache und ich bezweifle ob es viel bringt. Ich hab auch schon an Induktion gedacht, hab diesen Gedanken aber schnell wieder verworfen, denn p soll prim sein und den genauen Abstand von einer Primzahl zur nächsten kann man nicht allgemein bestimmen. Vermutlich ein besserer Weg zur Lösung der Aufgabe ist, den Hauptsatz über endliche Körper zu benutzen. Wie man ihn auf dieses Beispiel anwendet weiß ich aber noch nicht. Er lautet: Für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl m gibt es einen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^m} \end{eqnarray}$ mit q=p^m Elementen. Er stimmt mit dem Zerfällungskörper des separablen Polynoms $\begin{eqnarray} T^q-T\in \mathbb F_p \left[T \right] \end{eqnarray}$ überein. Jeder endliche Körper ist isomorph zu einem dieser Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^m} \end{eqnarray}$ Allerdings bin ich mir doch nicht ganz sicher ob ich ihn benutzen kann, denn darin geht es ja um endliche Körper und unser Körper K ist nicht notwendigerweise endlich... Andere passende Sätze habe ich nicht gefunden.
16.03.2010, 22:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis geht über die Eigenschaft die in b) beschrieben wird. Dadurch kannst du nämlich alle Nullstellen angeben!
16.03.2010, 23:49	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Antwort hilft mir nicht weiter. Wenn ich wüsste wie das geht hätte ich es schon getan und müsste nicht fragen. Ich weiß, dass mir hier niemand eine komplette Lösung geben wird und das würde ich auch gar nicht wollen. Aber das hier ist grade sehr frustrierend, wenn man denkt man bekommt einen guten Hinweis, man macht sich wieder Gedanken dazu und alles und merkt dann, dass man keinen Schritt weiter kommt als vorher...
16.03.2010, 23:52	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann eben noch expliziter: Zeige: $\begin{eqnarray} \alpha + \gamma \end{eqnarray}$ ist Nullstelle mit $\begin{eqnarray} \gamma \in \mathbb F_p \end{eqnarray}$ . Dies zeigt b) und da dies genau p NST sind auch a)
17.03.2010, 01:14	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ui, für diesen Beweis musste ich mich an Dinge erinnern die schon sehr weit zurück liegen... $\begin{eqnarray} f \left( \alpha + \gamma \right) = \left(\alpha + \gamma \right)^p - \alpha - \gamma - \alpha^p + \alpha = \alpha^p + \begin{pmatrix} p \\ 1 \end{pmatrix} \alpha^{p-1} \gamma + ... + \begin{pmatrix} p \\ p-1 \end{pmatrix} \alpha \gamma^{p-1} + \gamma^p - \gamma - \alpha^p \end{eqnarray}$ Nun gilt aber: p teilt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 1\leq k\leq p-1 \end{eqnarray}$ . Deswegen ist in einem Körper der Charakteristik p $\begin{eqnarray} f\left(\alpha + \gamma \right) = \gamma^p - \gamma \end{eqnarray}$ Und das ist nach dem kleinen Fermat =0 im Körper der Charakteristik p. Und daraus folgen dann wie du gesagt hast sowohl a) als auch b) Danke!

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