Doppelintegral

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frighter Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral
Hallo,

habe grad folgende wie ich finde schwere Aufgabe und komme nicht weiter.

Für feste a,b mit a<b gilt D={ a < x^2 + y^2 < b }. Berechnen sie das Doppelintegral über die gegebene Fläche in Abhängigkeit von a und b.

Die Funktion ist f(x,y)= sin(x^2+y^2) - sin(x^2+y^2)x^2 / x^2 + y^2

- Also nach Definition denke ich es handelt sich um einen Kreisring bei der Fläche, aber hätte man da nicht anstatt a und b betrag a und betrag b schreiben müssen?
Vielleicht lieg ich auch falsch mit dem Kreisring.

- Muss ich eigentlich jetzt hier zwei Doppelintegrale rechnen oder reicht auch eins?

- Auch mit der Integration komme ich nicht hin - Kann mir das jemand durchintegrieren, so dass ich die einzelnen Schritte verstehe?


Vielen Dank für die Hilfe.

Gruß
frighter
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelintegral
Zitat:
Original von frighter
Die Funktion ist f(x,y)= sin(x^2+y^2) - sin(x^2+y^2)x^2 / x^2 + y^2

Wie soll die Funktion jetzt lauten?

Was da steht ist:

Gemeint ist wohl:

Zitat:
Original von frighter
- Also nach Definition denke ich es handelt sich um einen Kreisring bei der Fläche, aber hätte man da nicht anstatt a und b betrag a und betrag b schreiben müssen?

Nöö. Sinnvoller wäre die Angabe 0 < a < b gewesen.

Zitat:
Original von frighter
- Muss ich eigentlich jetzt hier zwei Doppelintegrale rechnen oder reicht auch eins?

- Auch mit der Integration komme ich nicht hin - Kann mir das jemand durchintegrieren, so dass ich die einzelnen Schritte verstehe?

Es reicht ein Doppelintegral. Ein Ansatz ist die Transformation in Polarkoordinaten.

Das scheint mir auch keine Schulmathe zu sein. Daher verschoben.
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

gemeint ist:





Zitat:
Nöö. Sinnvoller wäre die Angabe 0 < a < b gewesen.


Also kein Kreisring.


Zitat:
Es reicht ein Doppelintegral. Ein Ansatz ist die Transformation in Polarkoordinaten.


Ok ein Doppelintegral. Koordinatentransformation in Polarkoordinaten.
x=r cos phi
y = r sin phi
r = Wurzel(x^2+y^2)

Damit komm ich aber auch nicht weiter. Hammer
Außerdem würd mich immer noch interessieren wie der Graph aussieht.

Gruß
frighter
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von frighter
gemeint ist:



Also dies:

Zitat:
Original von frighter
Also kein Kreisring.

Das habe ich nicht in Abrede gestellt.

Zitat:
Original von frighter
Ok ein Doppelintegral. Koordinatentransformation in Polarkoordinaten.
x=r cos phi
y = r sin phi
r = Wurzel(x^2+y^2)

Damit komm ich aber auch nicht weiter. Hammer

Da solltest du natürlich wissen, wie eine Transformation bei Integralen funktioniert. Im Prinzip muß ja auch das "dx dy" in dem Integral transformiert werden.

Zitat:
Original von frighter
Außerdem würd mich immer noch interessieren wie der Graph aussieht.

Wenn du einen 3-dimensionalen Plotter hast, kannst du dir den ja mal anschauen. smile
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mir ist schon klar, dass ich bei der Transformation eben ein anderes Koordinatensystem verwende und deshalb die x,y,z Kooordinaten transformieren muss.

Wie kommt man den auf die Vereinfachung der Funktion auf f(x)= -y^2 ?
Der erste Schritt ist mir dabei nicht klar???? Da muss man wohl erst mal drauf kommen verwirrt .

Ich hab Geogebra - kann ich denn dort Definitionsmengen eingeben und den Graphen erhalten? Oder gibt es solch ein kostenloses Tool?


Gruß
frighter
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von frighter
mir ist schon klar, dass ich bei der Transformation eben ein anderes Koordinatensystem verwende und deshalb die x,y,z Kooordinaten transformieren muss.

Wie das geht, besagt die Transformationsregel. Anschauen, anwenden, fertig.

Zitat:
Original von frighter
Wie kommt man den auf die Vereinfachung der Funktion auf f(x)= -y^2 ?
Der erste Schritt ist mir dabei nicht klar???? Da muss man wohl erst mal drauf kommen verwirrt .

Ich habe nur die üblichen Regeln angewendet. smile
Solltest du jedoch gemeint haben, dann ist meine Umformung natürlich nicht machbar.

Zitat:
Original von frighter
Ich hab Geogebra - kann ich denn dort Definitionsmengen eingeben und den Graphen erhalten? Oder gibt es solch ein kostenloses Tool?

Ich nutze keine Tools, sondern grundsätzlich nur meinen Kopf. Augenzwinkern
 
 
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

genau so hab ich es gemeint. Damit ist die Umformung also hinfällig - Schade traurig .

Naja dann kann ich die Aufgabe halt nicht lösen oder kann mir vielleicht doch jemand bei der Integration helfen :-) ?

Gruß
frighter
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von frighter
genau so hab ich es gemeint. Damit ist die Umformung also hinfällig - Schade traurig .

Warum schreibst du es dann nicht so?

Zitat:
Original von frighter
Naja dann kann ich die Aufgabe halt nicht lösen oder kann mir vielleicht doch jemand bei der Integration helfen :-) ?

Setze



Die Transformationsformel (welche du aber unbedingt noch lernen mußt) besagt, daß ist.
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

wenn ich nun aber folgendes einsetze:

x= r* cos phi
y= r * sin phi
dx dy = r dr d phi

Ich seh hier nicht das die Funktion bzw. das Integral einfacher wird. Im Gegenteil, es wird doch noch komplizierter, wenn ich oben genanntes einsetze.

Gruß
frighter
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist dabei doch auch



Dadurch vereinfacht sich das Ganze enorm.
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, hier mal eingesetzt:



Und jetzt das ganze nach r dr d phi integrieren. Keine Ahnung wie.


Gruß
frighter
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort "trigonometrischer Pythagoras".
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hab das nachgeschlagen. Das muss mir doch auch erst mal jemand sagen Big Laugh



a^2 + b^2 = c^2

[c*cos(phi)]^2 + [c*sin(phi)]^2 = c^2 / teile beidseitig durch c^2

--->



Ok also müsste das allgemein gültig sein :-). damit kann ich das setzen und erhalte



Stimmt das so?

Gruß
frighter
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und wenn du nun noch



beachtest, ergibt das einen sehr freundlichen Integranden (durch eine einfache Substitution).

Übrigens: phi bekommst du in latex einfach mit \phi .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von frighter
hab das nachgeschlagen. Das muss mir doch auch erst mal jemand sagen Big Laugh



Wir sind hier im Hochschulbereich. Da wird die Kenntnis dieser elementaren Formel vorausgesetzt.

Langsam glaube ich, daß die Hälfte der Abiturienten bei der Abi-Aufgabe:

"Stellen Sie den Term durch eine reelle Zahl dar."

scheitern würde.
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

nichts für ungut, aber man kann nur das wissen, was man auch gelernt hat bzw. was man gelehrt wurde. Wink


Gruß
frighter
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist immer wieder erstaunlich, daß solch elementares Wissen nicht bei Leuten mit Hochschulreife ankommt. OK, das mag jetzt nicht deine Schuld sein, aber dann muß man sich fragen, was wird an den Schulen eigentlich noch gelehrt?

Nebenbei müssen aber auch irgendwie die trigonometrischen Funktionen an "deiner" Hochschule eingeführt worden sein. Dabei sollte aber auch diese elementare Gleichung mal vorkommen. Oder liege ich da auch wieder schief?
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.

Ja, ich fand das auch manchmal erstaunlich was und wie so bei manchen Lehrern an der Schule gelehrt wurde Big Laugh . Also aus der Schule kenne ich diesen trigonometrische Pythagoras sicherlich nicht.
Es kann sein, dass dieses Wissen in der dazugehörigen Mathematikvorlesung an der Hochschule vermittlet wurde. Ich konnte aber aus krankheitsbedingten Gründen nicht daran teilnehmen.


Gruß
frighter
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