Transformationsmatrix (bei Jordan-Normalform)

17.03.2010, 02:25	Leo20	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix (bei Jordan-Normalform) Guten Abend, liebe Mathematiker! Ich beschäftige mich mit folgender Matrix: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 6 & 6 & -1 & 1 \\ -4 & -4 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sie hat zwei Eigenwerte. (1 mit algebraischer Vielfachheit 1, und -1 mit alg. Vielfachheit 3) Zum Eigenwert -1 habe ich zwei Eigenvektoren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wegen der algebr. Vielfachheit ist noch ein dritter Vektor zu suchen, mit folgendem Gleichungssystem: -2x_1 - x_4 = 0 2x_1 + x_4 = 0 6x_1 + 6x_2 - 2x_3 + x_4 = 0 -4x_1 - 4x_2 - 2x_4 = 0 Ich nehme also beispielsweise $\begin{eqnarray} HV_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Transformationsmatrix setze ich wie folgt zusammen: $\begin{eqnarray} Q = ((A-1)^3 \cdot HV_4, (A-1)^2 \cdot HV_4, (A-1) \cdot HV_4, HV_4) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 16 & -8 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um die Jordan-Normalform dann auszurechnen, macht man folgendes: J = Q^-1 * A * Q ..das Problem ist nun, dass sich Q^-1 nicht berechnen lässt (im Rechner folgt die Fehlermeldung: Singuläre Matrix.) Wie kann ich dieses Problem beheben bzw. was habe ich falsch gemacht? Besten Dank für die Hilfe und gute Nacht!
17.03.2010, 09:43	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Du ignorierst so ziemlich alles, was man ignorieren kann. Du lässt einen Eigenwert völlig über die Klinge springen. Wieso du deinen Hauptvektor(!) so bestimmst ist mir auch schleierhaft. Dann ignorierst du völlig, dass ein ein korrekt gewählter Hauptvektor nur Länge 2 haben wird. Und zu guter letzt ist deine Basiswahl gelinde gesagt sehr seltsam. P.S. Dass die Matrix kein Inverses hat, ist ziemlich offensichtlich.
17.03.2010, 12:42	Leo20	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso kann ein korrekt gewaehlter Hauptvektor nur Laenge 2 haben? Die Eigenvektoren haben ja alle Laenge 4, da kann man doch nicht ploetzlich einen Hauptvektor mit Laenge 2 haben, oder? :S Und was meinst du mit "einen Eigenvektor ueber die Klinge springen lassen"? Warum ich den HV so bestimmt habe: Ich habe ja ein Gleichungssystem, und habe geschaut, wie zB die erste Gleichung erfuellt wird. Der HV ist ja nur ein Beispiel..man es gaebe sicherlich ein Duzend andere Moeglichkeiten, den zu waehlen... Besten Dank im Voraus fuer die Auskunft!
17.03.2010, 12:59	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Mit Länge zwei meine ich der Hauptvektor wird unter (A-1)^2 auf 0 abgebildet (nicht vorher). 2. In deiner Trafo-Matrix muss doch irgendwo auch ein Eigenvektor zum Eigenwert -1 auftauchen, das beachtest du überhaupt nicht. 3. Wie kommst du denn überhaupt auf das Gleichungssystem (mal abgesehen davon, dass dein Vektor besagtes System überhaupt nicht löst; vergleiche 3. Zeile)?
17.03.2010, 15:23	Leo20	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich auf das GLS komme: Ich rechne die Diagonaleintraege -1 und erhalte dann das gepostete GLS. Genau dort liegt wahrscheinlich der Fehler, sonst haette ich ja zur richtigen Loesung kommen muessen...
17.03.2010, 15:33	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen du würdest das Gleichungssystem richtig lösen, dann bekämst du dadurch den Eigenraum zum Eigenwert 1. Damit hättest du dann einen Vektor für deine Trafo-Matrix gefunden. Du bräuchtest aber immer noch den Hauptvektor der Länge 2 zum Eigenwert -1, dessen Bild sowie einen weiteren (von diesem unabhängigen) Eigenvektor zum Eigenwert -1. Versuch doch mal nicht stur nach Schema F irgendwas zu machen, sondern den Algorithmus der dahintersteht zu verstehen.
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