Taylor Reihe

17.03.2010, 13:56	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor Reihe Hallo, habe mich eben einmal an dieser Aufgabe versucht. Weiß nur nicht ob das richtig ist. a) Bestimmen Sie die ersten 5 Terme der Taylorreihe von $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x+2} \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ b) Wie lautet die Formel für die Reihe in geschlossener Form? c) Wie groß ist der Konvergenzradius der Reihe? Bin jetzt so vorgegangen: a) $\begin{eqnarray} f(x_0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x_0)=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x_0)=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x_0)=-6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''''(x_0)=24 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{-1}{(x+2)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{2}{(x+2)^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x)=\frac{-23}{(x+2)^4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''''(x)=\frac{24}{(x+2)^5} \end{eqnarray}$ Und das jetzt eingesetzt: $\begin{eqnarray} f(x,0)=0+(-1)x+\frac{1}{2}2x^2+\frac{1}{6}(-6)x^3+\frac{1}{24}24x^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x,0)=-x+x^2-x^3+x^4 \end{eqnarray}$ Zu b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^5 (-1)^kx \end{eqnarray*}$ Stimmt das soweit??? Wie bestimme ich den Konvergenzradius? Danke schonmal im vorraus Mfg Franky
17.03.2010, 15:51	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich bn mir nicht ganz sicher. Aber evtl. könnte man hier über die geometrische Reihe rankommen.
17.03.2010, 16:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ableitungen sind richtig, aber du hast jedesmal beim einsetzen von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ den Nenner nicht beachtet. Wie man b) und c) auf einfache Weise löst, wurde ja schon angedeutet. Das lässt sich in eine geometrische Reihe entwickeln.
17.03.2010, 17:05	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo muss ich beim Nenner was beachten??
17.03.2010, 17:25	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir an, wogegen die unendliche geometrische Reihe konvergiert, achte dann auf die Vorzeichen und überlege die dann den Konvergenzradius.
17.03.2010, 17:31	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich macht das jetzt erstmal Misstrauisch das ich bei x(o) was im Nenner nicht beachtet habe. Kann mich da bitte wer aufklären, damit ich das nicht falsch lerne. Danke
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17.03.2010, 17:51	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor Reihe Sei $\begin{eqnarray} y=-\frac{x}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2} \frac{1}{1+\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \frac{1}{1-y} = \frac{1}{2} \sum^{\infty} _{k=0} y^k = \ldots \end{eqnarray}$ Versuch es immer erst ohne stures ausrechnen, sonst sitzt man ja den ganzen Tag an sowas .. zu deiner Frage: mal genauer hinschauen beim einsetzen $\begin{eqnarray} f'(x_0 = 0)=\frac{-1}{(0+2)^2} \neq -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x_0=0)=\frac{2}{(0+2)^3} \neq 2 \end{eqnarray}$ etc....

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