Normalenform einer Ebene und Normalenvektor

17.03.2010, 16:20

universum

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Normalenform einer Ebene und Normalenvektor

Meine Frage:
Hi Leute,
ich habe folgendes gegeben:

Gegeben sind folgende Vektoren:
$\begin{eqnarray*} a=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix} b=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} c=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und eine Ebene durch die Gleichung: $\begin{eqnarray*} x=sa + tb ; s,t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Aufgabenstellung:
Man bestimme erstens für diese Ebene einen Normalenvektor $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ mit dem Betrag 1, zweitens die Gleichung der Ebene in Normalenform und drittens den Abstand von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zu der Ebene.

Meine Ideen:
Mein Ansatz für den Normalenvektor wäre gewesen $\begin{eqnarray*} a\times b = d \end{eqnarray*}$ , jedoch bekomme ich dann den Betrag 1 nicht heraus. Ergebnis für den Betrag wäre $\begin{eqnarray*} \sqrt{30} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt ist meine Frage, wie bestimme ich den Normalenvektor mit einem vorgeschriebenen Betrag?

17.03.2010, 17:34

Romaxx

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Indem du deinen Normalenvektor $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ , der die Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{30} \end{eqnarray*}$ hat, mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{30}} \end{eqnarray*}$ multiplizierst.

Merke: Der Betrag eines Vektors gibt immer seine Länge an.

Grüße

17.03.2010, 18:12

universum

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So einfach geht das also smile

smile

Danke.

Wie genau geht man denn jetzt weiter vor mit der Normalenformel für die Ebene?

die Formel ist meines Wissens:

E: (x - a)*d

Warum ist das a und nicht b? Und reicht es dann einfach für a und d die Vektoren einzutragen und "fertig"?

17.03.2010, 18:20

Romaxx

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Die allgemeine Normalenfom lautet:

$\begin{eqnarray*} E:\quad (\vec{x}-\vec{d})\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ der Stützvektor und $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der Normalenvektor. Wie lautet denn nun dein Stützvektor, wenn du deine Parameterform betrachtest?

Grüße

17.03.2010, 19:35

universum

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$\begin{eqnarray*} E:\quad%20(\vec{x}-\vec{d})\cdot\vec{n}=\vec{o} \end{eqnarray*}$

Mein Unwissen, wusste nicht das in dem Fall $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ ein Stützvektor ist.
Nun weiss ichs, also in meiner Gleichung wäre dann der Vektor a, der Stützvektor.
Was ist $\begin{eqnarray*} \vec{o} \end{eqnarray*}$ für ein Vektor?

17.03.2010, 19:43

riwe

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Zitat:

Original von Romaxx
Die allgemeine Normalenfom lautet:

$\begin{eqnarray*} E:\quad (\vec{x}-\vec{d})\cdot\vec{n}=\vec{o} \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ der Stützvektor und $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der Normalenvektor. Wie lautet denn nun dein Stützvektor, wenn du deine Parameterform betrachtest?

Grüße

das ist FALSCH unglücklich

unglücklich

richtig ist hoffentlich offensichtlich

$\begin{eqnarray*} E:\quad (\vec{x}-\vec{d})\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

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17.03.2010, 19:44

riwe

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Zitat:

Original von universum
$\begin{eqnarray*} E:\quad%20(\vec{x}-\vec{d})\cdot\vec{n}=\vec{o} \end{eqnarray*}$

Mein Unwissen, wusste nicht das in dem Fall $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ ein Stützvektor ist.
Nun weiss ichs, also in meiner Gleichung wäre dann der Vektor a, der Stützvektor.
Was ist $\begin{eqnarray*} \vec{o} \end{eqnarray*}$ für ein Vektor?

und auch hier, das ist FALSCH unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} E:\quad%20(\vec{x}-\vec{d})\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

17.03.2010, 20:11

universum

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Also war einfach nur der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{o} \end{eqnarray*}$ falsch. Muss also $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ heißen. Ansonsten aber richtige Formel?

18.03.2010, 13:28

universum

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Verständnishalber wollte ich wissen:

"... der Abstand c zu der Ebene."

da wende ich doch die HNF an, ist doch der sinnigste Weg oder?

also wäre das in meinem Fall jetzt:

$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{d} * \vec{x} = \vec{d} * \vec{a}<br /> <br /> \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{30} } \\ \frac{1}{\sqrt{30} } \\ -\frac{5}{\sqrt{30} } \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{30} } \\ \frac{1}{\sqrt{30} } \\ -\frac{5}{\sqrt{30} } \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Das aufgelöst ergibt:

$\begin{eqnarray*} <br /> E: \frac{2}{\sqrt{30} } *x + \frac{1}{\sqrt{30} } y - \frac{5}{\sqrt{30} }z = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Dann setze ich das in die HNF ein im Zähler und im nenner den Betrag des Normalenvektors $\begin{eqnarray*} |\vec{d} | = 1 \end{eqnarray*}$

Dann setze ich für x, y und z den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ ein und rechne das aus:

Ergebnis:

0.5477 Längeneinheiten

Der Wert kommt mir ein bisschen klein vor. Ist die Vorgehensweise so richtig, bedenken habe ich bei

$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{d} * \vec{x} = \vec{d} * \vec{a}<br /> \end{eqnarray*}$

Ob das der Vektor a sein muss. Hab überlegt, das könnte auch der Vektor c sein und das man dann in der HNF für x,y und z den Koordinatenursprung einsetzt.
Ist eine Überlegung von mir. Sagen wir mal so. ich kenne so ein paar Formel doch meistens ist mir der genau Hintergrund dahinter schleierhaft.

//EDIT: ok habe es einmal nach meiner Annahme versucht und da kommt das Gleiche nur negativ heraus also: -0,5477.

18.03.2010, 16:14

universum

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Sorry für den *Push* aber wollte es doch ganz gerne noch wissen. Nicht das dieser Thread in Vergessenheit gerät. Spam

Spam

19.03.2010, 09:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von universum
also wäre das in meinem Fall jetzt:

$\begin{eqnarray*} \vec{d} * \vec{x} = \vec{d} * \vec{a} \end{eqnarray*}$

Ich frage mich, wie du von
$\begin{eqnarray*} E:\quad%20(\vec{x}-\vec{d})\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$ (siehe Post von riwe)
auf obiges kommst. Das ist doch total verhuddelt.

Zitat:

Original von universum
Dann setze ich für x, y und z den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ ein und rechne das aus:

Ergebnis:

0.5477 Längeneinheiten

Das Ergebnis ist richtig. Ich hätte aber die Darstellung $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{30}} \end{eqnarray*}$ bevorzugt.

19.03.2010, 11:24

Romaxx

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Zitat:

das ist FALSCH unglücklich

unglücklich

richtig ist hoffentlich offensichtlich

$\begin{eqnarray*} E:\quad (\vec{x}-\vec{d})\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

Das war natürlich absoluter Schwachsinn von mir.

War wohl nicht ganz bei der Sache.

Grüße

19.03.2010, 12:02

universum

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von universum
also wäre das in meinem Fall jetzt:

$\begin{eqnarray*} \vec{d} * \vec{x} = \vec{d} * \vec{a} \end{eqnarray*}$

Ich frage mich, wie du von
$\begin{eqnarray*} E:\quad%20(\vec{x}-\vec{d})\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$ (siehe Post von riwe)
auf obiges kommst. Das ist doch total verhuddelt.

Ich hab diese Formel zum Thema im Internet gefunden. Und mir gedacht, damit kann ich schneller rechnen, das dieses eine andere Schreibweise der Normalengleichung ist, war mir zu dem Zeitpunkt nicht bewusst.

Aber danke an allen für die Hilfe. Freude

Freude

19.03.2010, 12:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von universum
Ich hab diese Formel zum Thema im Internet gefunden. Und mir gedacht, damit kann ich schneller rechnen, das dieses eine andere Schreibweise der Normalengleichung ist, war mir zu dem Zeitpunkt nicht bewusst.

Das ist ja durchaus in Ordnung. Aber du kannst nicht $\begin{eqnarray*} \vec d \end{eqnarray*}$ einmal als Bezeichung für den Normalenvektor und einmal als Bezeichung für den Stützvektor nehmen.

19.03.2010, 13:15

universum

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Achso, ja also die Formel mit d*x=d*a hab ich aufgestellt, da hab ich so wie in der Aufgabenstellung für den Normalenvektor das d benutzt.
Die Normalenebenenformel habe ich nicht aufgestellt, die hat Romaxx mir gesagt. Da habe ich aber drauf geachtet, dass der Stützvektor dann a ist.

Also dann noch mal für die Mitleser, (nicht dass da was durcheinander geht).
Die Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} E: (\vec{x}-\vec{a})\cdot\vec{d}=0 \end{eqnarray*}$

19.03.2010, 13:20

klarsoweit

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Na ja ok, war halt etwas verwirrend. Hatte halt gedacht, du greifst Formeln aus vorangegangen Beiträgen auf.
Aber jetzt ist die Sache ja klar. smile

smile

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