Majoranten Kriterium

18.03.2010, 11:57

Eva-S

Majoranten Kriterium

Könnte ich hier das Majoranten Kriterium anwenden?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n (n-1)} \end{eqnarray*}$

Oder darf man das nur bei

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n (n-1)} \end{eqnarray*}$

also Indexstart bei n=0 verwirrt

18.03.2010, 11:59

IfindU

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RE: Majoranten Kriterium
Beim Indexstart von 0 hast du ganz andere Probleme. Du darfst Majorieren soviel du magst, aber hier würde sich wohl eher eine Teleskopsumme anbieten.

18.03.2010, 12:18

Eva-S

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RE: Majoranten Kriterium

Zitat:

Original von IfindU
Beim Indexstart von 0 hast du ganz andere Probleme. Du darfst Majorieren soviel du magst, aber hier würde sich wohl eher eine Teleskopsumme anbieten.

Teleskopsumme hatten wir nicht,
also das müsste eigentlich mit dem Majoranten Kriterium gehen.

18.03.2010, 12:27

giles

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Ich stimme IfindU zu. Benutze Partialbruchzerlegung für

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1} \end{eqnarray*}$

dann find damit eine einfache Formel für die Partialsummenfolge durch Indexverschiebung

$\begin{eqnarray*} s_N = \sum^{N} _{n=2} \frac{1}{n(n-1)} = \sum^{N} _{j=2} \frac{A}{j}+\sum^{N} _{k=2} \frac{B}{k-1} \end{eqnarray*}$

18.03.2010, 12:39

Urza

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Allerdings, wenn man nur auf Konvergenz überprüfen will und schon weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann geht es natürlich schneller mit dem Majorantenkriterium. Aber es als Teleskopsumme zu berechnen ist schöner.

18.03.2010, 13:36

Bullet1000

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das majorantenkriterium kann man hier nicht anwenden, denn

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n^2-n}>\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Das Relationszeichen stimmt nicht, um das Majorantenkriterium anwenden zu können.

Also Teleskopensumme bilden.

18.03.2010, 13:50

Urza

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Zitat:

Original von Bullet1000
das majorantenkriterium kann man hier nicht anwenden, denn

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n^2-n}>\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht die einzige Art, wie man das Majorantenkriterium versuchen kann anzuwenden.

18.03.2010, 13:53

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Bullet1000
das majorantenkriterium kann man hier nicht anwenden

Nein, das stimmt nicht.

Beachte:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac1{n(n-1)}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}. \end{eqnarray*}$

18.03.2010, 13:54

Cel

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So wendet man das Majorantenkriterium gar nicht an ... Den Ansatz macht man nur beim Minorantenkriterium. (@ Urza)

18.03.2010, 13:56

Urza

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
So wendet man das Majorantenkriterium gar nicht an ... Den Ansatz macht man nur beim Minorantenkriterium. (@ Urza)

Ja, sehr genau beobachtet Big Laugh

edit : Ich bezog mich natürlich auf die erste Gleichung, nicht auf das darauf folgende ">"-Zeichen. Sonst, was kühlkiste sagt.

18.03.2010, 14:01

Cel

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Jo, tut mir leid. Kühlkistes Ansatz passt natürlich sehr gut, und damit auch dein Hinweis.

18.03.2010, 14:03

Bullet1000

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ach so, also quasi

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac1{n(n-1)}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2+n}<\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Also konvergiert die Reihe nach Majorantenkriterium?

18.03.2010, 20:09

Urza

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Ja, falls die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ bekannt ist.

19.03.2010, 08:27

Bullet1000

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Ja, also meines wissens nach gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

oder allgemeiner

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} \alpha>1 \end{eqnarray*}$

Das haben wir zwar in der Vorlesung noch nicht bewiesen. (Prof meinte das kommt später)
Aber so steht es in meinem Skript.

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