Norm ausrechnen

18.03.2010, 16:14

akasharishi

Norm ausrechnen

Hallo!

Ich soll $\begin{eqnarray*} ||A||_{2,\infty}=\sup_{|x|_2\le 1} |Ax|_\infty \end{eqnarray*}$ mithilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ausrechnen, habe aber nicht wirklich viel Plan wie ich das machen soll...

Ich habe die Matrizenmultiplikation als Skalarprodukt in verschiedenen komponenten geschrieben um Cauchy-Schwarz anwenden zu können. Bin ich auf den richtigen Weg? Wenn ich dann Cauchy Schwarz anwende bekomme ich ja das Produkt zweier euklidischer Beträge, die größer-gleich sind.

Aber irgendwie weiß ich nicht, was mir das genau bringt. Ich habe es dann zwar nach oben abgeschätzt, das heißt aber ja nicht das ich Supremas erhalten habe. Und dann müsste ich ja immer noch das größte dieser Suprema im Sinne der Supremumsnorm auswählen.

Gruß

Rishi

18.03.2010, 16:21

Airblader

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Und was bedeutet "esgf"?

air

18.03.2010, 17:37

akasharishi

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Nichts Schlaues...War ein Versehen Augenzwinkern

18.03.2010, 20:33

Urza

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Wie ist denn dieses $\begin{eqnarray*} ||.||_{2,\infty} \end{eqnarray*}$ definiert?

19.03.2010, 12:51

akasharishi

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Das, was ich ganz am Anfang aufgeschrieben habe, ist die Definition...

19.03.2010, 12:54

Bullet1000

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Das ist sozusagen die Zeilensummennorm mit der zusätzlichen Bedingung, dass die euklidische Norm des Vektors x kleiner als 1 sein soll

20.03.2010, 11:05

akasharishi

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Wiso? Wer sagt denn, dass die Supremumsnorm von x 1 sein muss, wie es bei der Zeilensummennorm verlangt wird.
Eigentlich wollte ich ja wissen wie ich bei meinen Ausgansüberlegungen, die ich oben formuliert habe weiterkommen soll. Jetzt mal formal:

$\begin{eqnarray*} \sup_{|x|_2\le 1}|Ax|_\infty=\sup_{|x|_2\le 1}(\max_{i=1,2..n}|\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}x_k|)=\max_{i=1,2..n}(\sup_{|x|_2\le 1}|\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}x_k|)=\max_{i=1,2..n}(\sup_{|x|_2\le 1} |a_{i-}x|) \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle könnte man, wie oben erwähnt, Cauchy-Schwarz anwenden aber da dies nur eine Abschätzung nach oben ist, die nicht auf das Supremum hinführt, würde ja die Gleichheit nicht erhalten bleiben.

Wie soll ich weitermachen?

Gruß

Rishi

21.03.2010, 00:26

Urza

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Tut mir Leid, falls das eine dumme Frage ist, aber mir ist noch immer nicht klar, was du überhaupt beweisen willst.

21.03.2010, 12:57

akasharishi

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Das ist keine dumme Frage, vor Allem, da ich selbst nicht genau weiß, was zu tun ist. In der Aufgabenstellung steht die anfangs zitierte Definition der Norm und man solle sie mithilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung "ausrechnen" was vermutlich heißt irgendeine andere Darstellung dafür zu finden. Vlt. ist die Norm ja für jede Matrix gleich...

22.03.2010, 18:33

Urza

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Achso.(..) Mir ist jetzt was eingefallen. Wenn wir mal die i-te Zeile von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ bezeichnen, dann ist also $\begin{eqnarray*} \| A\| _{2,\infty}=\sup_{|x|_2\leq 1} \max_{1\leq i\leq n}\left| <\! a_i,x\! > \right| \end{eqnarray*}$
Mit Cauchy-Schwarz:
$\begin{eqnarray*} \left| <\! a_i,x\! >\right| \leq \|a_i\| _{2} \cdot \| x\| _{2} \leq \| a_i\|_{2} \end{eqnarray*}$ woraus sich die Vermutung $\begin{eqnarray*} \| A\| _{2,\infty} = \max_{1\leq i\leq n} \|a_i\|_{2} \end{eqnarray*}$ ergibt (Soweit warst du im Wesentlichen ja auch schon). Dies ist auch tatsächlich so, wie sich zeigt..
Für die andere Richtung genügt es zu zeigen, dass das Supremum auch immer angenommen wird, d.h. zu jedem $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ zu finden mit $\begin{eqnarray*} \|x\| _{2}\leq 1 \end{eqnarray*}$ sodass die Gleichung $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{j=1}^n b_j x_j\right)^2 = \sum_{j=1}^n b_j^2 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Versuche das doch mal.

22.03.2010, 19:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von akasharishi
Vlt. ist die Norm ja für jede Matrix gleich...

Dann wäre sie - nach den Eigenschaften einer Norm - für alle Matrizen Null.

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_\infty &=& \max_i\,\left|\sum_j\,a_{ij}x_j\right| \le \max_i\,\sum_j\,|a_{ij}||x_j|\\ &\le& \max_i\,\left(\sum_j\,|a_{ij}|^2\right)^{\frac 1 2}\left(\sum_j\,|x_j|^2\right)^{\frac 1 2}\\ &=& \left(\max_i\,\sqrt{\sum_j\,|a_{ij}|^2}\right)\,\|x\|_2. \end{eqnarray*}$

Damit haben wir die Norm aber noch nicht ausgerechnet. Das ist nur eine Abschätzung. Oder war das gefordert?

Übrigens ist das lineare Algebra - nicht Analysis.

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